Сколько семизначных чисел можно составить, используя цифры 1, 3 и 5, где цифра 1 повторяется дважды, цифра 3 - трижды

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, сколько способов у нас есть выбрать и расположить цифры в семизначное число с заданными ограничениями.

У нас есть три различные цифры для использования: 1, 3 и 5. Цифра 1 повторяется дважды, цифра 3 повторяется трижды, а цифра 5 повторяется дважды.

Давайте рассмотрим каждую цифру по отдельности и определим количество возможных вариантов для каждой цифры:

1) Цифра 1: У нас есть две цифры 1, поэтому мы можем расположить их по \(\binom{7}{2}\) способам, где \(\binom{n}{k}\) представляет собой биномиальный коэффициент, равный числу комбинаций из n элементов, выбранных k элементами без учета порядка.

2) Цифра 3: У нас есть три цифры 3, поэтому мы можем расположить их по \(\binom{5}{3}\) способам.

3) Цифра 5: У нас есть две цифры 5, поэтому мы можем расположить их по \(\binom{2}{2}\) способам.

Теперь мы можем перемножить количество вариантов для каждой цифры, чтобы получить общее количество семизначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям:

\(\binom{7}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2}\)

Подсчитаем значение:

\(\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)

\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

\(\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1\)

Теперь перемножим эти значения:

\(21 \times 10 \times 1 = 210\)

Итак, мы можем составить 210 различных семизначных чисел, используя цифры 1, 3 и 5, где цифра 1 повторяется дважды, цифра 3 - трижды, а цифра 5 - дважды.