Сколько семерок содержится в записи числа, полученного из выражения (512^(78) - 512^(60))∙(512^(5) + 64^(5)), если

Для решения этой задачи мы должны сначала вычислить значение выражения \((512^{78} - 512^{60}) \cdot (512^5 + 64^5)\) и затем определить, сколько семерок содержится в полученном числе.

Давайте начнем с вычисления значения этого выражения.

1. Сначала рассмотрим слагаемое \(512^{78} - 512^{60}\):

- Разложим \(512^{78}\) и \(512^{60}\) на множители, чтобы упростить вычисление. Заметим, что оба числа имеют общий множитель \(512\) (это можно увидеть, если разложить числа на простые множители), поэтому мы можем применить следующую формулу:

\[a^n - b^n = (a^{n/2} + b^{n/2}) \cdot (a^{n/2} - b^{n/2})\]

Применим эту формулу:
\(512^{78} - 512^{60} = (512^{78/2} + 512^{60/2}) \cdot (512^{78/2} - 512^{60/2})\)
\(= (512^{39} + 512^{30}) \cdot (512^{39} - 512^{30})\)

- Теперь рассмотрим слагаемое \(512^5 + 64^5\):

\(512^5\) и \(64^5\) также можно разложить на множители для упрощения. Заметим, что \(512\) и \(64\) можно представить как \(8^3\) и \(8^2\) соответственно:

\(512^5 = (8^3)^5 = 8^{3 \cdot 5} = 8^{15}\)
\(64^5 = (8^2)^5 = 8^{2 \cdot 5} = 8^{10}\)

Теперь можно записать \(512^5 + 64^5\) как \(8^{15} + 8^{10}\).

2. Вычислим значения слагаемых:

- \(512^{39} + 512^{30}\)

Так как оба слагаемых имеют общий множитель \(512\), мы можем применить аналогичную формулу:

\(512^{39} + 512^{30} = (512^{39/2} + 512^{30/2}) \cdot (512^{39/2} - 512^{30/2})\)
\(= (512^{19} + 512^{15}) \cdot (512^{19} - 512^{15})\)

- \(8^{15} + 8^{10}\)

Мы можем сложить эти слагаемые непосредственно:

\(8^{15} + 8^{10} = 8^{10} \cdot (8^5 + 1)\)

3. Разложим полученные выражения:

- Раскроем скобки в выражении \(512^{39} - 512^{30}\):

\((512^{39} + 512^{30}) \cdot (512^{39} - 512^{30}) = (512^{19} + 512^{15}) \cdot (512^{19} - 512^{15})\)
\(= 512^{19} \cdot 512^{19} - 512^{19} \cdot 512^{15} + 512^{15} \cdot 512^{19} - 512^{15} \cdot 512^{15}\)

- Раскроем скобки в выражении \(8^{10} \cdot (8^5 + 1)\):

\(8^{10} \cdot (8^5 + 1) = 8^{10} \cdot 8^5 + 8^{10} \cdot 1\)

4. Вычислим значения полученных выражений:

- \(512^{19} \cdot 512^{19}\) и \(512^{19} \cdot 512^{15}\). Также мы можем применить формулу для их упрощения:

\(512^{19} \cdot 512^{19} = (512^{19/2})^2 = 512^{9} \cdot 512^{9}\)

\(512^{19} \cdot 512^{15} = (512^{19/2})^{19-15} = 512^{9} \cdot 512^{4}\)

- \(8^{10} \cdot 8^5\) и \(8^{10} \cdot 1\) просто умножаем:

\(8^{10} \cdot 8^5 = 8^{15}\)
\(8^{10} \cdot 1 = 8^{10}\)

5. Теперь, чтобы получить ответ на задачу, мы должны вычислить значение выражения \((512^{9} \cdot 512^{9}) - (512^{9} \cdot 512^{4})\) и умножить его на \(8^{15} + 8^{10}\).

6. Вычислим значение выражения:

\((512^{9} \cdot 512^{9}) - (512^{9} \cdot 512^{4}) = (512^{9} - 512^{4}) \cdot 512^{9}\)

7. Умножаем на \(8^{15} + 8^{10}\):

\((512^{9} - 512^{4}) \cdot 512^{9} \cdot (8^{15} + 8^{10})\)

8. Теперь мы можем вычислить это выражение:

После всех вычислений получается слишком большое число, чтобы его нормально записать здесь, но можно сказать, что в полученном числе будет содержаться определенное количество цифр "7", так как мы перемножаем ненулевые числа. Однако точное количество семерок в числе нам известно только после вычисления.