Сколько разных способов можно расположить в ряд 6 белых и 2 черных шарика? Все шарики можно расположить в один

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинаторику и перестановки с повторениями.

В данном случае мы имеем 6 белых шариков и 2 черных шарика. Мы хотим узнать, сколько разных способов есть расположить их в ряд.

Первым шагом давайте определим количество возможных позиций для шариков. Всего у нас 8 позиций (6 для белых шариков и 2 для черных шариков).

Используя комбинаторику, мы можем выбрать 2 позиции из 8 для черных шариков. Это можно сделать с помощью формулы сочетания:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где n - общее количество элементов (позиций), а k - количество элементов (позиций), которые выбираем.

В нашем случае, n = 8 и k = 2:

\[
C(8,2) = \frac{{8!}}{{2!(8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2!6!}}
\]

Теперь вычислим значение факториала числа 8:

\[
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

И факториала числа 2:

\[
2! = 2 \cdot 1
\]

А также факториала числа 6:

\[
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Теперь можем подставить значения в формулу:

\[
C(8,2) = \frac{{8!}}{{2!6!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{(2 \cdot 1)(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}
\]

Замечаем, что некоторые числа сокращаются:

\[
C(8,2) = \frac{{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1}}{{(2 \cdot 1)(\cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1)}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{56}}{{2}} = 28
\]

Итак, у нас есть 28 различных способов расположения 6 белых и 2 черных шариков в ряд.