Сколько различных перестановок (неосмысленных слов) можно получить, перемещая буквы в слове «ФЗФТШМФТИ», таким образом

Для решения этой задачи, нам понадобится применить комбинаторику, а именно правило перемножения.

а) Для того чтобы буква «Ш» не следовала сразу после буквы «Т», нам нужно рассмотреть два случая:
1) Когда буква «Т» находится на первой позиции, а буква «Ш» на второй позиции.
2) Когда буква «Ш» находится не на второй позиции.

1) Первый случай возможен только в случае, когда остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку. Так как всего в слове «ФЗФТМФТИ» 9 букв, то количество перестановок без учета букв «ФТШ» равно \(9!\). Однако, буквы «Ф» и «Т» повторяются, поэтому необходимо поделить это значение на \(2!\) и \(2!\) соответственно. Также, в данном случае буква «Ш» уже находится на второй позиции, поэтому мы решаем задачу для 8 букв (без учета «Ш»). Итого получаем: \[\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}} = 181440\]

2) Во втором случае буква «Ш» может занимать любую из оставшихся 7 позиций (после первой буквы). Остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку из 8 букв. Аналогично предыдущему случаю, количество перестановок равно \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = 20160\).

Таким образом, суммируя результаты двух случаев, получаем \(181440 + 20160 = 201600\) различных перестановок.

б) Аналогично предыдущему пункту, нам нужно рассмотреть два случая:
1) Когда буква «Ф» находится на первой позиции, а буква «З» на второй позиции.
2) Когда буква «З» находится не на второй позиции.

1) Первый случай возможен только в случае, когда остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку. Аналогично предыдущему пункту, количество перестановок без учета букв «ФЗШ» равно \(\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}} = 181440\). В данном случае буква «З» уже находится на второй позиции, поэтому мы решаем задачу для 8 букв (без учета «З»). Итого получаем: \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = 20160\).

2) Во втором случае буква «З» может занимать любую из оставшихся 7 позиций (после первой буквы). Остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку из 8 букв. Аналогично предыдущему пункту, количество перестановок равно \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = 20160\).

Суммируя результаты двух случаев, получаем \(181440 + 20160 = 201600\) различных перестановок.

в) Чтобы ни одна из букв «Т» не следовала непосредственно за одной из двух букв «Ф», нам нужно рассмотреть три случая:
1) Когда буква «Ф» находится на первой позиции, а буква «Т» на второй позиции.
2) Когда буква «Ф» находится на второй позиции, а буква «Т» на третьей позиции.
3) Когда буква «Ф» находится на третьей позиции, а буква «Т» на четвертой позиции.

1) Первый случай возможен только в случае, когда остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку. Аналогично предыдущим пунктам, количество перестановок без учета букв «ФТШ» равно \(\frac{{9!}}{{2! \cdot 2!}} = 181440\). В данном случае буква «Т» уже находится на второй позиции, поэтому мы решаем задачу для 8 букв (без учета «Т»). Итого получаем: \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = 20160\).

2) Во втором случае буква «Ф» может занимать любую из оставшихся 7 позиций (после первой буквы). Остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку из 8 букв. Аналогично предыдущим пунктам, количество перестановок равно \(\frac{{8!}}{{2! \cdot 2!}} = 20160\).

3) В третьем случае буква «Ф» может занимать любую из оставшихся 7 позиций (после первой буквы), а буква «Т» может занимать любую из оставшихся 6 позиций (после второй буквы). Остальные буквы («ФЗФТМФТИ») образуют перестановку из 7 букв. Количество перестановок равно \(7!\).

Суммируя результаты трех случаев, получаем \(181440 + 20160 + 7! = 198240\) различных перестановок.

Таким образом, ответ на задачу:
а) \(201600\) различных перестановок;
б) \(201600\) различных перестановок;
в) \(198240\) различных перестановок.