Сколько различных чисел могло быть среди новых 20 чисел, если Полина прибавила к некоторым числам 1, к некоторым

Для решения этой задачи, давайте разобьем новые 20 чисел на три группы: те, к которым Полина прибавила 1, те, к которым она прибавила 12, и те, к которым она прибавила 123.

Пусть количество чисел, к которым Полина прибавила 1, будет обозначено как \(x_1\). Тогда количество чисел, к которым Полина прибавила 12, будет обозначено как \(x_2\), и количество чисел, к которым Полина прибавила 123, будет обозначено как \(x_3\).

Так как мы знаем, что всего есть 20 новых чисел, то справедливо следующее уравнение:

\[x_1 + x_2 + x_3 = 20\]

Теперь давайте рассмотрим возможные значения для каждой из групп.

\(x_1\) - количество чисел, к которым Полина прибавила 1. Максимально возможное значение для \(x_1\) будет 20, так как все 20 чисел могут быть увеличены на 1.

\(x_2\) - количество чисел, к которым Полина прибавила 12. Максимально возможное значение для \(x_2\) также будет 20, так как все 20 чисел могут быть увеличены на 12.

\(x_3\) - количество чисел, к которым Полина прибавила 123. В данном случае, максимальное значение для \(x_3\) будет 6, так как если все 20 чисел прибавить на 123, то максимальное число получится равным 123 + 123 = 246.

Теперь мы знаем ограничения для каждой группы чисел - \(x_1 \leq 20\), \(x_2 \leq 20\), и \(x_3 \leq 6\).

Мы также знаем, что сумма этих трех чисел равна 20 - \(x_1 + x_2 + x_3 = 20\).

Теперь давайте выведем все возможные значения для каждой группы.

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 20\) - в этом случае у нас будет 1 число среди новых чисел.

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 19\) - в этом случае у нас также будет 1 число среди новых чисел.

И так далее, продолжаем уменьшать значение \(x_3\) на 1 и увеличивать значение \(x_2\) на 1. При этом каждая комбинация будет давать нам уникальное значение чисел среди новых чисел.

Таким образом, всего будет 7 различных чисел среди новых 20 чисел, при условии, что Полина прибавила к некоторым числам 1, к некоторым 12, а ко всем остальным 123.