Сколько раз увеличится объем воздуха в цилиндре при добавлении количества теплоты q=13,2 кДж, если под поршнем

Для решения данной задачи мы можем использовать первый закон термодинамики, который гласит, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы, совершенной над системой, и полученной системой теплоты:

\(\Delta U = Q - W\)

где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы, \(Q\) - теплота, полученная системой, и \(W\) - совершенная работа.

Первоначально воздух в цилиндре находится при температуре 300 К. Если добавить к системе 13,2 кДж теплоты, то это будет равно 13200 Дж. Теплота, полученная системой (\(Q\)), будет равна этому значению.

Теперь нам нужно рассчитать работу (\(W\)), чтобы мы могли найти изменение внутренней энергии системы (\(\Delta U\)).

Поскольку система находится в цилиндре, мы можем использовать формулу работы для адиабатического процесса:

\(W = -P\Delta V\)

где \(P\) - давление воздуха в системе, а \(\Delta V\) - изменение объема.

Можем использовать идеальный газовый закон для нахождения давления воздуха (\(P\)):

\(P = \frac{{nRT}}{{V}}\)

где \(n\) - количество вещества (в моль), \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8,314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}}\)), \(T\) - температура воздуха (в К), а \(V\) - объем.

Исходя из условия задачи, у нас 0,5 моль воздуха, температура составляет 300 К, и теплоемкость при постоянном объеме \(c\) равна 21 Дж/(моль*К).

Теперь мы можем рассчитать давление (\(P\)) и работу (\(W\)):

\(P = \frac{{nRT}}{{V}} = \frac{{0,5 \, \text{моль} \cdot 8,314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \cdot 300 \, \text{К}}}{{V}}\)

Теперь мы можем найти изменение внутренней энергии системы:

\(\Delta U = Q - W = 13200 \, \text{Дж} - (-P\Delta V)\)

Так как в задаче просится найти, сколько раз увеличится объем воздуха при добавлении теплоты, мы можем заменить \(-P\Delta V\) на \(-P\Delta V + \Delta U\):

\(\Delta U = Q - W = 13200 \, \text{Дж} - (-P\Delta V + \Delta U)\)

Теперь нам осталось только решить это уравнение относительно \(\Delta V\):

\(13200 \, \text{Дж} = P\Delta V + \Delta U\)

\(13200 \, \text{Дж} = -P\Delta V + 13200 \, \text{Дж}\)

\(2P\Delta V = 13200 \, \text{Дж}\)

Теперь мы можем найти изменение объема (\(\Delta V\)):

\(\Delta V = \frac{{13200 \, \text{Дж}}}{{2P}}\)

Подставим значение \(P\):

\(\Delta V = \frac{{13200 \, \text{Дж}}}{{2 \cdot \frac{{0,5 \, \text{моль} \cdot 8,314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \cdot 300 \, \text{К}}}{{V}}}}\)

Сокращаем единицы и решаем уравнение:

\(\Delta V = \frac{{13200 \, \text{Дж} \cdot V}}{{0,5 \, \text{моль} \cdot 8,314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \cdot 300 \, \text{К}}} = \frac{{13200 \cdot V}}{{4,157 \cdot 10^3 \, \text{Дж/К}}} = \frac{{3200 \cdot V}}{{829,725 \, \text{Дж/к}}} \, \text{кг}

Таким образом, объем воздуха увеличится на \(\frac{{3200 \cdot V}}{{829,725}}\) кг. Известные значения объема, давления и изменения внутренней энергии могут быть подставлены в эту формулу для окончательного ответа.