Сколько раз цифра 3 повторяется в записи числа, полученного при вычислении арифметического выражения

Чтобы решить эту задачу, нужно раскрыть выражение, вычислить его значение и проанализировать полученное число.

Первым шагом мы раскроем выражение \(4^{500}+3 \cdot 4^{2500}+16^{500}-1024\) с помощью известных нам математических свойств.

Мы можем написать \(4^{500}= (2^2)^{500} = 2^{1000}\), так как \(4 = 2 \cdot 2 = 2^2\). Также, \(16^{500} = (2^4)^{500} = 2^{2000}\), так как \(16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\).

Подставим это в наше выражение:

\(2^{1000} + 3 \cdot 2^{2500} + 2^{2000} - 1024\).

Теперь мы можем заменить \(2^{1000}\) и \(2^{2000}\) на \(4^{500}\) и \(16^{500}\):

\(4^{500} + 3 \cdot 2^{2500} + 16^{500} - 1024\).

Теперь у нас есть выражение, состоящее только из степеней числа 4. Давайте вычислим его значение.

Так как мы работаем в системе счисления с основанием 4, то число "3" представляется как \(3 \cdot 4^0\), число "2" как \(2 \cdot 4^0\), а число "1" как \(1 \cdot 4^0\).

Теперь посмотрим на наше выражение внимательнее:

\(4^{500} + 3 \cdot 2^{2500} + 16^{500} - 1024\).

Видим, что вне каждой степени числа 4 у нас есть единичные коэффициенты (3 и -1024). Эти числа не влияют на наш вопрос, так как мы спрашиваем только о количестве цифр "3" в записи числа.

Остается только изучить коэффициенты при степенях 4 в нашем выражении. У нас есть \(4^{500}\) и \(16^{500}\). Во всех этих степенях число "4" повторяется два раза, поэтому коэффициенты перед этими степенями будут "1" и "1".

Теперь мы можем написать выражение, где заменим коэффициенты перед степенями числа 4 на их фактические значения:

\(4^{500} + 3 \cdot 2^{2500} + 16^{500} - 1024 = 4^{500} + 4^{500} + 4^{500} - 1024\).

А теперь просто складываем все коэффициенты числа 4:

\(4^{500} + 4^{500} + 4^{500} - 1024 = 3 \cdot 4^{500} - 1024\).

Так как мы ищем количество цифр "3", нам не нужно вычислять фактическое значение этого выражения. Достаточно только знать, что перед степенью числа 4 стоит коэффициент "3". Значит, в записи этого числа будет стоять только одна цифра "3".

Ответ: В записи числа, полученного при вычислении арифметического выражения 4^{500}+3 \cdot 4^{2500}+16^{500}-1024 в системе счисления с основанием 4, цифра "3" повторяется один раз.