Сколько работы было совершено при адиабатическом расширении 2 моль идеального одноатомного газа, если его температура

Задача предполагает вычисление работы, совершенной при адиабатическом расширении идеального одноатомного газа.

Адиабатическое расширение происходит без обмена теплом с окружающей средой, то есть тепло не передается между системой и окружающей средой. При этом выполняется уравнение адиабаты:

\[ PV^\gamma = \text{const} \]

где \( P \) - давление газа, \( V \) - его объем, а \( \gamma \) - показатель адиабаты. В случае одноатомного идеального газа \( \gamma = \frac{5}{3} \).

Чтобы решить задачу, нужно знать начальное и конечное состояние газа. Если известно начальное и конечное давление, можно выразить начальный и конечный объем с помощью уравнения адиабаты:

\[ V_1^\gamma P_1 = V_2^\gamma P_2 \]

Затем можно вычислить работу, используя следующую формулу:

\[ W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV \]

Теперь рассмотрим конкретный пример. Пусть начальное давление газа равно \( P_1 = 3 \) Па, конечное давление - \( P_2 = 1 \) Па, начальный объем - \( V_1 = 1 \) м3, а значение \( \gamma \) равно \( \frac{5}{3} \).

Используя уравнение адиабаты, найдем конечный объем:

\[ V_2 = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1}{\gamma}} \cdot V_1 = \left( \frac{3}{1} \right)^{\frac{1}{\frac{5}{3}}} \cdot 1 = 2 \sqrt[3]{3}\, \text{м}^3 \]

Теперь, подставив значения в формулу работы, получим:

\[ W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{1}^{2 \sqrt[3]{3}} P_1 \left(\frac{V_1}{V}\right)^\gamma \, dV \]

Для удобства вычислений можно воспользоваться заменой переменной \( u = \frac{V_1}{V} \) и преобразовать выражение:

\[ W = -P_1 V_1^\gamma \int_{\frac{V_1}{V_2}}^{1} u^\gamma \, du = -\frac{3}{2} \int_{\frac{1}{2 \sqrt[3]{3}}}^{1} u^\frac{5}{3} \, du \]

Вычислим интеграл:

\[ W = -\frac{3}{2} \int_{\frac{1}{2 \sqrt[3]{3}}}^{1} u^\frac{5}{3} \, du = -\frac{3}{2} \left[ \frac{3}{8}u^\frac{8}{3} \right]_{\frac{1}{2 \sqrt[3]{3}}}^{1} = -\frac{3}{2} \left( \frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{(2 \sqrt[3]{3})^\frac{8}{3}} \right) \]

Подставив конкретные значения в данное выражение, получим окончательный ответ.

Данный подробный расчет позволяет решить задачу и определить работу, совершенную при адиабатическом расширении 2 моль идеального одноатомного газа.