Сколько путь прошел груз, за одну минуту, если его координата зависит от времени по закону х = 0,4sin4πt?

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для расчета пути. Формула такая: \( s = \int v dt \), где \( s \) - путь, \( v \) - скорость, а \( t \) - время.

Поскольку у нас есть функция \( x(t) \), которая описывает координату груза в зависимости от времени, мы можем найти скорость груза, взяв производную координаты по времени. В данном случае производная функции \( x(t) \) будет равна \( v(t) = \frac{dx}{dt} \).

Давайте найдем производную функции \( x(t) \):
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (0,4sin(4\pi t)) \]

Чтобы найти эту производную, нам понадобится применить правило дифференцирования для функции синус: \( \frac{d}{dt} (sin(at)) = acos(at) \), где \( a \) - коэффициент перед переменной в синусе.

Применяя это правило, получим:
\[ v(t) = 0,4 \cdot \frac{d}{dt} (sin(4\pi t)) = 0,4 \cdot (4\pi \cdot cos(4\pi t)) \]

Теперь у нас есть выражение для скорости груза в зависимости от времени \( v(t) \). Чтобы найти путь, интегрируем это выражение от начального времени до конечного времени:
\[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \]

Следовательно, все, что осталось сделать, это вычислить данный интеграл. Он осуществляется по очереди каждого слагаемого. Подставляем выражение для \( v(t) \):
\[ s = \int_{t_1}^{t_2} (0,4 \cdot (4\pi \cdot cos(4\pi t))) dt \]

Можем приступать к вычислениям. Учитывая, что \( 4\pi \) - это константа, можно вынести его за знак интеграла:
\[ s = 0,4 \cdot (4\pi) \cdot \int_{t_1}^{t_2} cos(4\pi t) dt \]

Теперь проинтегрируем функцию \( cos(4\pi t) \). По правилам интегрирования, интеграл от \( cos(at) \) равен \( \frac{1}{a} \cdot sin(at) \):
\[ s = 0,4 \cdot (4\pi) \cdot \left[ \frac{1}{4\pi} \cdot sin(4\pi t) \right]_{t_1}^{t_2} \]

Упростим выражение, учитывая, что коэффициенты 4пи сокращаются:
\[ s = 0,4 \cdot sin(4\pi t_2) - 0,4 \cdot sin(4\pi t_1) \]

Таким образом, путь, пройденный грузом за одну минуту, будет равен \( 0,4 \cdot sin(4\pi t_2) - 0,4 \cdot sin(4\pi t_1) \).

В данном случае, чтобы найти путь за одну минуту, мы должны подставить \( t_2 = 1 \) и \( t_1 = 0 \):
\[ s = 0,4 \cdot sin(4\pi \cdot 1) - 0,4 \cdot sin(4\pi \cdot 0) \]

Вычисляя это, получаем:
\[ s = 0,4 \cdot sin(4\pi) - 0,4 \cdot sin(0) \]

А значения sin(4\pi) и sin(0) равны нулю:
\[ s = 0 - 0 \]
\[ s = 0 \]

Таким образом, путь, пройденный грузом за одну минуту, равен нулю. Груз не перемещается за это время.