Сколько прямоугольников содержит розовая фигура? Фигура имеет форму, где два квадрата расположены один над другим

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно внимательно рассмотреть розовую фигуру и подсчитать количество прямоугольников, которые она содержит. Давайте разберемся шаг за шагом.

По описанию, форма розовой фигуры состоит из двух квадратов, расположенных вертикально друг над другом. Представим каждый из этих квадратов отдельно.

Пусть первый квадрат будет верхним, а второй - нижним. Обозначим размеры этих квадратов как \( a \times a \) и \( b \times b \), где \( a \) и \( b \) - натуральные числа.

Начнем с первого квадрата. В нем мы можем выделить следующие прямоугольники:
1. Сам квадрат \( a \times a \).
2. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( a \times (a-1) \), который расположен по левому краю квадрата.
3. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( a \times (a-2) \), который расположен по левому краю и находится над перечисленным в предыдущем пункте прямоугольником.
4. ...
5. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( a \times 1 \), который расположен по левому краю и находится над перечисленным в предыдущем пункте прямоугольником.

Таким образом, в первом квадрате содержится \((1 + 2 + 3 + \ldots + a)\) прямоугольников.

Перейдем ко второму квадрату.

Аналогично, во втором квадрате мы также можем выделить следующие прямоугольники:
1. Сам квадрат \( b \times b \).
2. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( b \times (b-1) \), который расположен по левому краю квадрата.
3. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( b \times (b-2) \), который расположен по левому краю и находится над перечисленным в предыдущем пункте прямоугольником.
4. ...
5. Вертикальный прямоугольник со сторонами \( b \times 1 \), который расположен по левому краю и находится над перечисленным в предыдущем пункте прямоугольником.

Таким образом, во втором квадрате содержится \((1 + 2 + 3 + \ldots + b)\) прямоугольников.

Итак, общее количество прямоугольников, содержащихся в розовой фигуре, будет суммой количества прямоугольников в первом и втором квадрате:
\((1 + 2 + 3 + \ldots + a) + (1 + 2 + 3 + \ldots + b)\).

Теперь давайте рассмотрим, есть ли способ упростить эту формулу.

Заметим, что сумма натуральных чисел от 1 до \( n \) может быть выражена формулой \(\frac{{n \cdot (n+1)}}{2}\). Применим это знание к нашей задаче.

Используя эту формулу, мы можем переписать нашу формулу в следующем виде:
\(\frac{{a \cdot (a+1)}}{2} + \frac{{b \cdot (b+1)}}{2}\).

Окончательно, это и есть ответ на вопрос. Итак, розовая фигура содержит в себе \(\frac{{a \cdot (a+1)}}{2} + \frac{{b \cdot (b+1)}}{2}\) прямоугольников.

Hope this explanation is clear and helpful to you. If you have any further questions, please let me know!