Сколько плиток оставалось у рабочих после завершения строительства офисного помещения? Какое количество плиток

Пусть \(x\) - количество плиток, которое было изначально.

При укладке плиток по 7 в ряд, не хватило одного ряда, а это значит, что после укладки осталось \(x - 7\) плиток.

При укладке плиток по 8 в ряд, не хватило на 5 плиток меньше, чем при укладке по 7. Это означает, что после укладки осталось \((x - 5) - 8\) плиток.

Из этого следует уравнение:
\[
(x - 7) - (x - 5 - 8) = 5
\]

Раскроем скобки:
\[
x - 7 - x + 5 + 8 = 5
\]

Упростим:
\[
x - x + 5 + 8 - 7 = 5
\]

Соединим числа:
\[
6 = 5
\]

Но это неверное равенство, и мы пришли к противоречию. Это означает, что мы сделали ошибку в рассуждениях.

Попробуем решить эту задачу с помощью другого подхода.

Мы знаем, что при укладке плиток по 7 в ряд, не хватило одного ряда. Это значит, что количество плиток, которые было изначально, на 1 больше, чем кратно 7. Поэтому мы можем записать это в виде уравнения:
\[
x = 7a + 1 \quad \text{(1)}
\]
где \(a\) - целое число.

Также мы знаем, что при укладке плиток по 8 в ряд, не хватило на 5 плиток меньше, чем при укладке по 7. Это означает, что количество плиток, которое было изначально, на 5 плиток меньше, чем кратно 8. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[
x = 8b - 5 \quad \text{(2)}
\]
где \(b\) - целое число.

Найдем общие решения этих двух уравнений. Решим их методом подстановки.

Из уравнения (1) получаем:
\[
x = 7a + 1
\]
Подставим вместо \(x\) в уравнение (2):
\[
7a + 1 = 8b - 5
\]
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[
7a - 8b = -6
\]

Это диофантово уравнение. Найдем его частное решение. Пробуем разные значения \(a\) и \(b\). Если найдем хотя бы одно частное решение, сможем найти общее решение.

Пробуя разные значения, мы можем найти, что при \(a = 6\) и \(b = 5\) выполняется уравнение:
\[
7 \cdot 6 - 8 \cdot 5 = -6
\]
Таким образом, \((a, b) = (6, 5)\) - является частным решением уравнения.

Теперь найдем общее решение.

Общее решение диофантова уравнения можно представить в виде:
\[
a = -6 + 8k, \quad b = -5 + 7k
\]

где \(k\) - целое число.

Теперь, чтобы найти количество плиток для укладки по 9 в ряду, подставим найденные значения для \(a\) и \(b\) в уравнение (1) или (2). Выберем уравнение (1) для решения:
\[
x = 7a + 1 = 7(-6 + 8k) + 1 = -42 + 56k + 1 = 56k - 41
\]

Ответ: Количество плиток, необходимых для укладки, если плитки будут укладываться по 9 в ряд, равно \(56k - 41\), где \(k\) - целое число.