Сколько плиток оставалось у рабочих после завершения строительства офисного помещения? Какое количество плиток

Пусть $x$ - количество плиток, которое было изначально.

При укладке плиток по 7 в ряд, не хватило одного ряда, а это значит, что после укладки осталось $x-7$ плиток.

При укладке плиток по 8 в ряд, не хватило на 5 плиток меньше, чем при укладке по 7. Это означает, что после укладки осталось $(x-5)-8$ плиток.

Из этого следует уравнение:
$$(x-7)-(x-5-8)=5$$

Раскроем скобки:
$$x-7-x+5+8=5$$

Упростим:
$$x-x+5+8-7=5$$

Соединим числа:
$$6=5$$

Но это неверное равенство, и мы пришли к противоречию. Это означает, что мы сделали ошибку в рассуждениях.

Попробуем решить эту задачу с помощью другого подхода.

Мы знаем, что при укладке плиток по 7 в ряд, не хватило одного ряда. Это значит, что количество плиток, которые было изначально, на 1 больше, чем кратно 7. Поэтому мы можем записать это в виде уравнения:
$$x=7a+1\text{(1)}$$
где $a$ - целое число.

Также мы знаем, что при укладке плиток по 8 в ряд, не хватило на 5 плиток меньше, чем при укладке по 7. Это означает, что количество плиток, которое было изначально, на 5 плиток меньше, чем кратно 8. Мы можем записать это в виде уравнения:
$$x=8b-5\text{(2)}$$
где $b$ - целое число.

Найдем общие решения этих двух уравнений. Решим их методом подстановки.

Из уравнения (1) получаем:
$$x=7a+1$$
Подставим вместо $x$ в уравнение (2):
$$7a+1=8b-5$$
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
$$7a-8b=-6$$

Это диофантово уравнение. Найдем его частное решение. Пробуем разные значения $a$ и $b$. Если найдем хотя бы одно частное решение, сможем найти общее решение.

Пробуя разные значения, мы можем найти, что при $a=6$ и $b=5$ выполняется уравнение:
$$7\cdot 6-8\cdot 5=-6$$
Таким образом, $(a,b)=(6,5)$ - является частным решением уравнения.

Теперь найдем общее решение.

Общее решение диофантова уравнения можно представить в виде:
$$a=-6+8k,b=-5+7k$$

где $k$ - целое число.

Теперь, чтобы найти количество плиток для укладки по 9 в ряду, подставим найденные значения для $a$ и $b$ в уравнение (1) или (2). Выберем уравнение (1) для решения:
$$x=7a+1=7(-6+8k)+1=-42+56k+1=56k-41$$

Ответ: Количество плиток, необходимых для укладки, если плитки будут укладываться по 9 в ряд, равно $56k-41$, где $k$ - целое число.