Сколько плиток было изначально в офисном помещении, если после завершения строительства рабочим не хватило плиток

Давайте решим эту задачу пошагово. Предположим, что изначально в офисном помещении было \(x\) плиток.

Из условия задачи мы знаем, что рабочим не хватило плиток, чтобы выложить площадку по 9 плиток в ряду. Значит, общее количество плиток меньше, чем это число. Поэтому мы можем записать это неравенство: \(x < 9\).

Также, мы знаем, что им не хватило плиток для выкладывания площадки по 10 плиток в ряду. Это означает, что общее количество плиток кратно 10, так как такое количество плиток может заполнить целое число рядов. Мы можем записать это уравнение: \(x \equiv 0 \pmod{10}\).

Далее, условие говорит нам, что когда рабочие просчитали количество пациентов, им не хватило плиток на 7 меньше, чем в последнем ряду при выкладывании по 9 плиток. Это означает, что они не смогли выложить последнюю ряду из \((x-7)\) плиток по 9 в ряду. Поскольку количество плиток делится на 9 без остатка, мы можем записать это уравнение: \((x-7) \equiv 0 \pmod{9}\).

Теперь давайте решим систему уравнений, состоящую из этих трех уравнений, чтобы найти значение \(x\).

Сначала решим второе и третье уравнения:
\[
\begin{align*}
x &\equiv 0 \pmod{10} \\
(x-7) &\equiv 0 \pmod{9}
\end{align*}
\]

Учитывая, что \(x\) кратно 10, мы можем представить его в виде \(x = 10k\), где \(k\) - некоторое целое число.

Подставим это значение во второе уравнение:
\[
(10k-7) \equiv 0 \pmod{9}
\]

Теперь найдем такое \(k\), при котором это уравнение будет выполняться:
\[
10k \equiv 7 \pmod{9}
\]

Мы можем переписать это уравнение в виде:
\[
k \equiv 7 \cdot 10^{-1} \pmod{9}
\]

\textbf{Объяснение}: Чтобы найти мультипликативную обратную величину \(10^{-1}\) по модулю 9, нам нужно найти такое число \(y\), при котором \(10 \cdot y\) даёт остаток 1 при делении на 9. В данном случае \(y = 10^{\varphi(9)-1} = 10^{9-2} = 10^7\), так как \(\varphi(9) = 9 \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 6\).

Решим \(10 \cdot y \equiv 1 \pmod{9}\):
\[
10 \cdot 10^7 \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow 10^{8} \equiv 1 \pmod{9}
\]

Теперь мы можем вычислить \(k\):
\[
k \equiv 7 \cdot 10^{-1} \equiv 7 \cdot 10^7 \equiv 7 \cdot 1 \equiv 7 \pmod{9}
\]

Значит, \(k = 7\). Подставим это значение \(k\) в \(x = 10k\):
\[
x = 10 \cdot 7 = 70
\]

Таким образом, изначально в офисном помещении было 70 плиток.