Сколько отрядов следует отправить на поиски в район А, а сколько в район Б, чтобы достичь наибольшей вероятности

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться теорией принятия решений. Допустим, что вероятность обнаружения грибника в районе А составляет \(p_a\), а вероятность обнаружения грибника в районе Б составляет \(p_b\). Пусть \(x\) - количество отрядов, отправленных в район А, а \(y\) - количество отрядов, отправленных в район Б.

Таким образом, вероятность обнаружения грибника можно представить как сумму вероятностей обнаружения грибника в каждом из районов, умноженных на вероятность того, что именно в этом районе грибник находится:

\[P_{\text{обнаружения}} = p_a \cdot \frac{x}{x+y} + p_b \cdot \frac{y}{x+y}\]

Для определения оптимальной стратегии поиска, мы должны максимизировать данную вероятность обнаружения грибника. Для этого нам необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dP_{\text{обнаружения}}}{dx} = 0\]

Мы получим следующее уравнение:

\[p_a \cdot \frac{y}{(x+y)^2} - p_b \cdot \frac{x}{(x+y)^2} = 0\]

Перегруппируем и упростим это уравнение:

\[p_a \cdot y = p_b \cdot x\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\) или \(y\):

\[x = \frac{p_a}{p_b} \cdot y\]

\[y = \frac{p_b}{p_a} \cdot x\]

Таким образом, мы видим, что оптимальное соотношение количества отрядов в районе А и Б должно быть таким, чтобы отношение вероятности обнаружения грибника в каждом районе было равно отношению вероятности обнаружения грибника в другом районе.

Для определения вероятности обнаружения грибника при оптимальной стратегии поиска, мы можем подставить найденное соотношение в начальную формулу для вероятности:

\[P_{\text{обнаружения}} = p_a \cdot \frac{\frac{p_a}{p_b} \cdot y}{\frac{p_a}{p_b} \cdot y + y} + p_b \cdot \frac{y}{\frac{p_a}{p_b} \cdot y + y}\]

Данное выражение можно упростить:

\[P_{\text{обнаружения}} = \frac{p_a^2}{p_a + p_b}\]

Округлив данное выражение до трех десятичных знаков, получим ответ на задачу.