Сколько нулей как минимум мог быть выписано Лёшей?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо понять, какие числа содержат нули.

Заметим, что все числа, оканчивающиеся на 10, 100, 1000 и т. д., содержат хотя бы один ноль. Также, для каждого такого числа, можно умножить на любое другое число, чтобы получить число с большим количеством нулей в конце. Например, число 10 можно умножить на 10 и получить 100, у которого уже два нуля.

Теперь давайте рассмотрим представление числа в виде произведения простых множителей. Чтобы получить ноль в конце числа, необходимо иметь хотя бы один множитель 5 и один множитель 2. Это связано с тем, что все числа, оканчивающиеся на ноль, делятся на 10, что можно представить как \(2 \times 5\).

Теперь мы можем сформулировать правило: для каждой пары множителей \(2 \times 5\) мы получаем один ноль в конце числа. Например, число 10 представляется как \(2 \times 5\), поэтому у него имеется один ноль. Число 100 представляется как \(2 \times 2 \times 5 \times 5\), поэтому у него имеется два нуля.

Таким образом, чтобы узнать, сколько нулей может быть выписано Лёшей, мы должны узнать, сколько раз множитель \(2 \times 5\) встречается в разложении числа Лёши. В данном случае, речь идет о числе \(10!\), то есть произведении всех чисел от 1 до 10.

Посчитаем, сколько раз множитель \(2 \times 5\) встречается в разложении числа \(10!\). Поскольку в этом разложении содержится множество единичек и несколько пятерок, наша задача определить, сколько раз встречается множитель \(2 \times 5\).

В разложении числа \(10!\) мы имеем следующие числа, содержащие множитель \(2 \times 5\): 10, 5, 2. Таким образом, у нас есть три множителя \(2 \times 5\), и следовательно, Лёша мог выписать не менее трех нулей.

Таким образом, минимальное количество нулей, которые мог быть выписано Лёшей, это три.