Сколько нулей есть в значимом месте в двоичной записи числа 4^2015 + 8^2016 – 2^2017?

Конечно, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала, давайте разложим каждую степень чисел 4, 8 и 2 на множители:

\[4^{2015} + 8^{2016} - 2^{2017}\]
\[= (2^2)^{2015} + (2^3)^{2016} - (2^1)^{2017}\]
\[= 2^{4030} + 2^{6048} - 2^{2017}\]

2. Теперь объединим все слагаемые в одну степень числа 2:

\[= 2^{4030} + 2^{2017} \cdot 2^{4031} - 2^{2017}\]
\[= 2^{4030} + 2^{4031} \cdot (2^{2017} - 1)\]

3. Мы видим, что первое слагаемое, \(2^{4030}\), содержит 4030 единиц в двоичной записи, поскольку каждый разряд в двоичной записи числа 2 в степени увеличивается на 1.

4. Теперь обратимся ко второму слагаемому, \(2^{4031} \cdot (2^{2017} - 1)\). Заметим, что в скобках у нас выражение \(2^{2017} - 1\). Это число представляет собой последовательность из 2017 единиц в двоичной записи числа. Когда мы умножаем это число на \(2^{4031}\), каждая цифра сдвигается влево на 4031 позицию. Поскольку в двоичной записи число содержит только 0 и 1, то в начале числа незначимыми являются все нули. Когда мы умножим это число на \(2^{4031}\), новые незначащие нули появятся в начале числа.

Итак, чтобы найти количество нулей в значениях на значимом месте в двоичной записи данного числа, нам нужно найти, сколько нулей находится в значимом месте во втором слагаемом \(2^{4031} \cdot (2^{2017} - 1)\).

Мы можем сделать это, определив, сколько нулей находится в значимом месте в числе \(2^{2017} - 1\).

5. Поскольку мы знаем, что \(2^{2017} - 1\) представляет собой последовательность из 2017 единиц, нам надо понять, сколько нулей находится в значимом месте в этой последовательности.

Чтобы определить количество нулей, мы можем заметить, что нули находятся в значимом месте только в том случае, если перед ними стоит 1. Поскольку перед каждым нулем стоит 1 в двоичной записи \(2^{2017} - 1\), число нулей на значимом месте будет равно числу единиц в \(2^{2017} - 1\).

6. Теперь давайте определим количество единиц в \(2^{2017} - 1\).

Мы знаем, что \(2^{2017} - 1\) представляет собой последовательность из 2017 единиц в двоичной записи числа. Таким образом, количество единиц в этой последовательности равно 2017.

Теперь, когда мы знаем количество единиц, это же количество и будет являться количеством нулей на значимом месте во втором слагаемом.

7. Теперь мы можем вернуться к нашим исходным выражениям и получить окончательный ответ.

Мы знаем, что первое слагаемое, \(2^{4030}\), содержит 4030 единиц в двоичной записи.

Второе слагаемое, \(2^{4031} \cdot (2^{2017} - 1)\), содержит \(2^{2017} - 1\) нулей на значимом месте, что также является количеством единиц в представлении числа \(2^{2017} - 1\).

Таким образом, общее количество нулей на значимом месте в данном выражении будет равно сумме 4030 и \(2^{2017} - 1\).

Пожалуйста, примите этот полный и подробный ответ на вашу задачу. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь!