Сколько натуральных чисел от 1 до 2016 являются и суммой двух последовательных натуральных чисел, и суммой пяти

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее поэтапно.

Первое, что нам нужно сделать, это понять какие числа могут быть суммой двух последовательных чисел. Для этого рассмотрим два последовательных натуральных числа \(n\) и \(n+1\). Их сумма будет равна \(n + (n+1) = 2n + 1\). Значит, любое число вида \(2n+1\), где \(n\) - целое число, будет суммой двух последовательных натуральных чисел.

Теперь давайте рассмотрим числа, которые являются суммой пяти последовательных натуральных чисел. Для этого возьмем пять последовательных чисел, начиная с \(n\), и их сумма будет равна \(n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)\). Сократим это выражение и получим \(5n + 10 = 5(n+2)\). Значит, любое число вида \(5(n+2)\), где \(n\) - целое число, будет суммой пяти последовательных натуральных чисел.

Теперь давайте найдем, сколько чисел в интервале от 1 до 2016 являются и суммой двух последовательных натуральных чисел, и суммой пяти последовательных натуральных чисел.

Для первого случая, суммы двух последовательных чисел, нам нужно выяснить, сколько целых значений \(n\) удовлетворяют неравенству \(2n + 1 \leq 2016\).

Решим неравенство:
\[
2n + 1 \leq 2016
\]

Вычтем 1 из обеих частей:
\[
2n \leq 2015
\]

Разделим обе части на 2:
\[
n \leq 1007.5
\]

Так как \(n\) - натуральное число, то максимальное значение \(n\) будет 1007.

Аналогично для второго случая, нам нужно определить, сколько целых значений \(n\) удовлетворяют неравенству \(5(n+2) \leq 2016\).

Решим неравенство:
\[
5(n+2) \leq 2016
\]

Раскроем скобки:
\[
5n + 10 \leq 2016
\]

Вычтем 10 из обеих частей:
\[
5n \leq 2006
\]

Разделим обе части на 5:
\[
n \leq 401.2
\]

Максимальное значение \(n\) будет 401.

Теперь, чтобы подсчитать количество чисел, которые являются и суммой двух последовательных натуральных чисел, и суммой пяти последовательных натуральных чисел, нам нужно учесть все целые значения \(n\) в интервалах от 1 до 1007 и от 1 до 401.

В данной задаче натуральные числа включают 1, поэтому максимальное значение \(n\) будет также включать соответствующий интервал.

Итак, мы должны подсчитать количество целых значений \(n\) в интервалах от 1 до 1007 и от 1 до 401. Мы можем это сделать, вычислив разницу между максимальным и минимальным значением в каждом интервале и прибавив 1.

Для первого случая, количество чисел, которые являются суммой двух последовательных натуральных чисел, будет:

\[
1007 - 1 + 1 = 1007
\]

Для второго случая, количество чисел, которые являются суммой пяти последовательных натуральных чисел, будет:

\[
401 - 1 + 1 = 401
\]

Таким образом, в интервале от 1 до 2016 существует 1007 чисел, которые являются и суммой двух последовательных натуральных чисел, и суммой пяти последовательных натуральных чисел.