Сколько натуральных чисел от 1 до 2016 можно представить как сумму двух последовательных натуральных чисел и сумму пяти

Для начала рассмотрим первую часть задачи: сколько натуральных чисел от 1 до 2016 можно представить как сумму двух последовательных натуральных чисел.

Пусть первое число из этой пары равно \(n\), тогда второе число будет равно \(n + 1\). Сумма этих чисел будет равна \(n + (n + 1) = 2n + 1\).

Чтобы получить ответ, мы должны найти количество натуральных чисел \(n\), для которых \(2n + 1\) лежит в диапазоне от 1 до 2016.

Используем неравенство \(1 \leq 2n + 1 \leq 2016\). Решим его:

\[1 \leq 2n + 1 \leq 2016\]

Вычитаем 1 из всех частей неравенства:

\[0 \leq 2n \leq 2015\]

Делим все части неравенства на 2:

\[0 \leq n \leq 1007.5\]

Натуральные числа только целые числа, поэтому округляем вниз до ближайшего целого числа. Получаем:

\[0 \leq n \leq 1007\]

То есть, в диапазоне от 1 до 2016 можно представить суммой двух последовательных натуральных чисел 1007 чисел.

Теперь перейдем ко второй части задачи: сколько натуральных чисел от 1 до 2016 можно представить как сумму пяти последовательных натуральных чисел.

Пусть первое число из этой пятерки будет равно \(m\), тогда следующие числа будут равны \(m + 1\), \(m + 2\), \(m + 3\) и \(m + 4\). Сумма этих пяти чисел будет равна \(m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) = 5m + 10\).

Чтобы получить ответ, мы должны найти количество натуральных чисел \(m\), для которых \(5m + 10\) лежит в диапазоне от 1 до 2016.

Используем неравенство \(1 \leq 5m + 10 \leq 2016\). Решим его:

\[1 \leq 5m + 10 \leq 2016\]

Вычитаем 10 из всех частей неравенства:

\[-9 \leq 5m \leq 2006\]

Делим все части неравенства на 5:

\[-1.8 \leq m \leq 401.2\]

Округляем вниз и вверх до ближайших целых чисел:

\[-2 \leq m \leq 402\]

Применяем возможные значения для \(m\):

\[1 \leq 5 \cdot 2 + 10 = 20 \leq 2016\]
\[1 \leq 5 \cdot 3 + 10 = 25 \leq 2016\]
\[...\]
\[1 \leq 5 \cdot 402 + 10 = 2010 \leq 2016\]

То есть, в диапазоне от 1 до 2016 можно представить суммой пяти последовательных натуральных чисел 402 числа.

Таким образом, ответ на задачу составляет 1007 + 402 = 1409 натуральных чисел.