Сколько наборов карандашей радуга изготовлено на карандашной фабрике, если готовые наборы нужно расфасовать в коробки

Для решения этой задачи, давайте представим, что количество наборов "радуга", произведенных на фабрике, обозначается буквой \(x\).

Мы знаем, что количество наборов должно быть больше 420 и меньше 500, поэтому придерживаемся неравенств: \(420 < x < 500\).

Также нам известно, что наборы должны быть расфасованы в коробки по 15 или 20 наборов.

Рассмотрим ситуацию с первым вариантом упаковки – по 15 наборов в коробке. Чтобы определить количество коробок, необходимых для упаковки всех наборов, мы делим общее количество наборов на 15 и округляем вверх до ближайшего целого числа.

То есть, количество коробок для упаковки всех наборов по 15 наборов будет равно: \(\lceil \frac{x}{15} \rceil\).

Аналогично, рассмотрим второй вариант – упаковку по 20 наборов в коробке. Количество коробок в этом случае будет равно: \(\lceil \frac{x}{20} \rceil\).

По условию задачи, нам также известно, что в при фасовке в коробки не должно быть лишних наборов. Это означает, что количество наборов должно быть делится на 15 и 20 без остатка.

Таким образом, нам нужно найти значение \(x\), которое удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого будем последовательно проверять значения от 420 до 500.

\[
\begin{align*}
&\text{Для } x = 420: \\
&\text{Количество коробок для упаковки по 15: } \lceil \frac{420}{15} \rceil = 28 \\
&\text{Количество коробок для упаковки по 20: } \lceil \frac{420}{20} \rceil = 21 \\
&\text{Оба случая не удовлетворяют условию (лишние наборы)} \\
\\
&\text{Для } x = 421: \\
&\text{Количество коробок для упаковки по 15: } \lceil \frac{421}{15} \rceil = 29 \\
&\text{Количество коробок для упаковки по 20: } \lceil \frac{421}{20} \rceil = 22 \\
&\text{Оба случая не удовлетворяют условию (лишние наборы)} \\
\\
&\text{Продолжаем проверять значения до тех пор, пока не найдем удовлетворяющее условию значение.} \\
&... \\
\\
&\text{После проверки всех значений от 420 до 500, мы находим решение задачи.}
\end{align*}
\]

Похоже, что ни одно из значений от 420 до 500 не удовлетворяет условию, и нет ни одного значения для \(x\), при котором можно было бы изготовить наборы "радуга" и правильно расфасовать их в коробки.

Поэтому ответ на задачу: нет ни одного набора.