Сколько минимальное количество различных чисел могло быть записано на доске, если каждое число было возведено либо

Для того чтобы найти минимальное количество различных чисел, которые могли быть записаны на доске, мы должны рассмотреть все возможные комбинации возведения в квадрат и куб чисел.

Пусть \(n\) - это исходное число.

1. Если число \(n\) было возведено в квадрат, то на доске записывается число \(n^2\).
2. Если число \(n\) было возведено в куб, то на доске записывается число \(n^3\).
3. Если число \(n\) было возведено и в квадрат и в куб, то на доске записывается число \(n^6\).

Теперь рассмотрим различные случаи:

1. Если \(n\) = 0, то на доске будет записано только число 0 (\(0^2 = 0\) и \(0^3 = 0\)). Таким образом, минимальное количество различных чисел равно 1.

2. Если \(n\) = 1, то на доске будут записаны числа 1, 1 (\(1^2 = 1\) и \(1^3 = 1\)). Таким образом, минимальное количество различных чисел также равно 1.

3. Если \(n\) = -1, то на доске будут записаны числа 1, -1 (\((-1)^2 = 1\) и \((-1)^3 = -1\)). Таким образом, минимальное количество различных чисел также равно 2.

4. Если \(n\) > 1 или \(n\) < -1, то на доске будут записаны числа \(n^2\), \(n^3\) и, возможно, \(n^6\) (если \(n\) не является ни квадратом, ни кубом). Таким образом, минимальное количество различных чисel будет равно 3.

Таким образом, ответ на задачу состоит в следующем: минимальное количество различных чисел, которые могли быть записаны на доске, равно 1, если \(n\) = 0 или \(n\) = 1; 2, если \(n\) = -1; и 3 в остальных случаях.