Сколько максимально удалится спутник от поверхности Земли, если его запустят на полюсе строго вертикально с первой

Для решения данной задачи, нам необходимо определить высоту, на которую спутник сможет подняться относительно поверхности Земли.

Спутник будет двигаться по закону сохранения энергии, использовав следующие факты:
1. Кинетическая энергия K равна половине массы спутника m, умноженной на квадрат скорости v: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
2. Потенциальная энергия P равна произведению массы спутника m, ускорения свободного падения g и высоты над поверхностью Земли h: \(P = mgh\)
3. Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии остается постоянной: \(K + P = \text{const}\)

Первая космическая скорость определяется так, что спутник может подняться на бесконечность без дополнительного топлива. Она вычисляется по формуле: \(v_0 = \sqrt{2gR}\), где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли, R - радиус Земли.

Теперь решим задачу:

1. Найдем первую космическую скорость:
\(v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 6400}\)
\(v_0 = \sqrt{128000}\)
\(v_0 \approx 357.77 \, \text{м/с}\)

2. После запуска, спутник будет двигаться вертикально с этой скоростью. Мы должны найти максимальную высоту h.

В этой точке, кинетическая энергия будет равна нулю, так как спутник слегка замедляется под воздействием гравитации, и потенциальная энергия будет достигать своего максимума.

Таким образом,
\(K + P = 0 + mgh = \text{const}\)
Мы можем проигнорировать кинетическую энергию, так как она равна нулю.

3. Подставим известные значения и найдем максимальную высоту, h:
\(0 + mgh = mv_0^2\)
\(gh = v_0^2\)
\(h = \frac{v_0^2}{g}\)
\(h = \frac{{357.77}^2}{10}\)
\(h \approx 12753.13 \, \text{м}\)

Таким образом, спутник сможет подняться максимально на примерно 12753.13 метра (или 12.75 километра) над поверхностью Земли.