Сколько кубиков получилось, у которых только три грани окрашены, после того как параллелепипед, который был собран

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, сколько кубиков с трех окрашенных граней будут внутри и на поверхности параллелепипеда, а затем подсчитаем общее количество таких кубиков.

Представьте, что параллелепипед состоит из \(a\) кубиков в длину, \(b\) кубиков в ширину и \(c\) кубиков в высоту.

Внутри параллелепипеда есть \((a-2)(b-2)(c-2)\) кубиков с трех окрашенных граней. Мы вычитаем 2 из каждой стороны, чтобы исключить кубики в углах параллелепипеда, так как мы хотим знать количество только внутренних кубиков с трех окрашенных граней.

На поверхности параллелепипеда есть \(2(a-2)(b-2) + 2(a-2)(c-2) + 2(b-2)(c-2)\) кубиков с трех окрашенных граней. Здесь мы умножаем количество кубиков на каждой стороне параллелепипеда на 2, так как суммируем уже по всей поверхности параллелепипеда.

Теперь сложим количество внутренних кубиков и количество кубиков на поверхности, чтобы получить общее количество кубиков с трех окрашенных граней:

\[(a-2)(b-2)(c-2) + 2(a-2)(b-2) + 2(a-2)(c-2) + 2(b-2)(c-2)\]

Пошагово, чтобы было понятнее:

1. Из каждой стороны параллелепипеда вычитаем 2: \(a-2\), \(b-2\), \(c-2\).
2. Умножаем количество кубиков внутри на полученные значения: \((a-2)(b-2)(c-2)\).
3. Умножаем количество кубиков на поверхности на полученные значения:
- Стороны \(a\) и \(b\): \(2(a-2)(b-2)\).
- Стороны \(a\) и \(c\): \(2(a-2)(c-2)\).
- Стороны \(b\) и \(c\): \(2(b-2)(c-2)\).
4. Складываем результаты: \((a-2)(b-2)(c-2) + 2(a-2)(b-2) + 2(a-2)(c-2) + 2(b-2)(c-2)\).

Таким образом, общее количество кубиков с только тремя окрашенными гранями после разборки параллелепипеда будет равно полученному выражению.