Сколько корней у уравнения tg2x = tgx на отрезке [п/2;3п/2]?

Хорошо! Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с уравнением и найдем количество корней на заданном отрезке.

Уравнение tg(2x) = tg(x) задает зависимость между функциями тангенса. Для начала, давайте перепишем данное уравнение без тригонометрических функций. Мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x), поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

sin(2x) / cos(2x) = sin(x) / cos(x)

Теперь у нас есть уравнение, где все функции представлены через синусы и косинусы. Чтобы решить его, необходимо привести уравнение к более простому виду. Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Подставим эти формулы в исходное уравнение:

(2sin(x)cos(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = sin(x) / cos(x)

Сократим на sin(x)/cos(x):

2cos(x) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

2cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Перенесем все члены в левую часть:

cos^2(x) - 2cos(x) - sin^2(x) = 0

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому выражение можно переписать в виде:

cos^2(x) - 2cos(x) + (1 - cos^2(x)) = 0

- cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение для переменной cos(x). Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант D для данного уравнения равен:

D = (-2)^2 - 4 * (-1) * 1 = 4 + 4 = 8

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

cos(x) = (-(-2) ± √8) / (2 * 1) = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2

Таким образом, мы нашли два значения cos(x). Теперь найдем соответствующие значения x с помощью обратной функции арккосинуса:

x = arccos(1 ± √2)

На данном отрезке [π/2;3π/2] функция арккосинуса имеет значения от 0 до π, поэтому мы можем ограничиться только положительными значениями арккосинуса:

x = arccos(1 + √2)

x = arccos(1 - √2)

Таким образом, на отрезке [π/2;3π/2] уравнение tg(2x) = tg(x) имеет два корня: x = arccos(1 + √2) и x = arccos(1 - √2).

Надеюсь, ответ был понятен и подробен!