Сколько компонент связности может быть в графе, состоящем из 18 вершин, где степень каждой вершины равна 2 или

Для решения этой задачи нам необходимо понять, как связаны между собой количество вершин и количество компонент связности в графе.

Компонента связности - это максимальный подграф графа, в котором любые две вершины соединены путем или ребром (путь - последовательность ребер, соединяющих две вершины). Если граф состоит из нескольких таких подграфов, которые не связаны между собой, то количество компонент связности будет равно количеству этих подграфов.

Итак, в нашем графе имеется 18 вершин. Вершины имеют степень 2 или 5, и в графе также присутствуют вершины обеих степеней.

Поскольку степень вершины равна количеству ребер, смежных с данной вершиной, мы можем использовать следующее свойство: сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному числу ребер.

Предположим, что у нас x вершин со степенью 2 и y вершин со степенью 5. Тогда у нас будет 2x ребер, иначе говоря, каждая вершина со степенью 2 образует 2 ребра, и 5y ребер, так как каждая вершина со степенью 5 образует 5 ребер.

Суммируя степени всех вершин, у нас получается уравнение: 2x + 5y = 2x + 5(18 - x) = 10x + 90 - 5x = 5x + 90.

Таким образом, сумма степеней всех вершин в нашем графе равна 5x + 90. По свойству, это двойная сумма степеней всех вершин (2 раза количество ребер).

Теперь, рассмотрим количество ребер в графе. У нас x вершин со степенью 2, что означает 2x ребер, и y вершин со степенью 5, что означает 5y ребер. Всего в графе будет 2x + 5y ребер.

Используя равенство двойной суммы степеней вершин и количества ребер, получаем уравнение: 5x + 90 = 2x + 5y.

Теперь вспомним, что у нас 18 вершин в графе. Всего вершин будет равно сумме количества вершин со степенью 2 и вершин со степенью 5, то есть x + y = 18.

Теперь у нас есть система уравнений:
5x + 90 = 2x + 5y
x + y = 18

Решим эту систему уравнений. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, чтобы убрать переменную y:
4x + 90 = 5y - 2y
4x + 90 = 3y

Теперь выразим x через y из этого уравнения:
x = (3y - 90) / 4

Поскольку количество вершин должно быть целым числом, найдем такие значения y, которые приводят к целым значениям x.

Теперь рассмотрим возможности для значения y. Подставим несколько целых значений y и найдем соответствующие значения x:
1) Пусть y = 10, тогда x = (3*10 - 90) / 4 = -15/4 - не является целым числом.
2) Пусть y = 15, тогда x = (3*15 - 90) / 4 = -15/4 - не является целым числом.
3) Пусть y = 18, тогда x = (3*18 - 90) / 4 = 12/4 = 3 - целое число.

Из этого следует, что единственное возможное целочисленное решение системы уравнений - это x = 3 и y = 18.

Таким образом, у нас есть 3 вершины со степенью 2 и 18 вершин со степенью 5.

Теперь мы можем найти количество компонент связности в графе.

Поскольку у нас 18 вершин со степенью 5, мы можем создать 18 цепочек из пяти вершин каждая, соединяя по одному ребру каждую вершину со степенью 5 с пятью другими вершинами. Каждая из этих цепочек будет образовывать одну компоненту связности.

Кроме того, у нас есть 3 вершины со степенью 2. Мы можем соединить эти вершины друг с другом, образуя трехвершинную компоненту связности. Таким образом, у нас также будет одна дополнительная компонента связности.

Таким образом, в нашем графе будет 18 + 1 = 19 компонент связности.

Ответ: В графе, состоящем из 18 вершин, где степень каждой вершины равна 2 или 5, и присутствуют вершины обеих степеней, может быть 19 компонент связности.