Сколько комбинаций можно составить из трех и более мальчиков из класса, чтобы сформировать команду КВН?

Чтобы определить количество комбинаций для формирования команды КВН, мы можем использовать комбинаторику и применить принцип комбинаций без повторений. Принцип комбинаций без повторений гласит, что если у нас есть множество из \(n\) элементов и мы выбираем из него \(k\) элементов, то количество возможных комбинаций равно числу сочетаний из \(n\) элементов по \(k\).

Для данной задачи у нас есть класс, из которого мы должны выбрать команду КВН из трех и более мальчиков. Таким образом, нам нужно выбрать комбинации из количества мальчиков больше или равного трём.

Чтобы найти общее количество комбинаций, можно просуммировать количество комбинаций для каждого возможного числа мальчиков. Но чтобы упростить задачу, давайте рассмотрим случаи, когда мы выбираем именно от трёх мальчиков и более, без ограничения сверху.

Итак, пусть у нас в классе есть \(m\) мальчиков, где \(m\geq 3\), и мы хотим сформировать команду КВН из трёх или более мальчиков.

Для начала найдем количество комбинаций для трёх мальчиков. В данном случае, мы можем использовать сочетания из \(m\) мальчиков по \(3\), что обозначается как \(C^m_3\). То есть, количество комбинаций из \(3\) мальчиков из множества из \(m\) мальчиков равно \(\binom{m}{3}\).

Затем найдем количество комбинаций для четырех мальчиков. В данном случае, мы можем использовать сочетания из \(m\) мальчиков по \(4\), что обозначается как \(C^m_4\). То есть, количество комбинаций из \(4\) мальчиков из множества из \(m\) мальчиков равно \(\binom{m}{4}\).

Мы можем продолжать этот процесс для каждого возможного числа мальчиков, равного или большего трём. И, наконец, чтобы получить общее число комбинаций, мы можем просуммировать все найденные комбинации для каждого числа мальчиков \(n\):

\[\binom{m}{3} + \binom{m}{4} + \binom{m}{5} + \ldots\]

Например, если в классе есть 10 мальчиков, то общее число комбинаций для формирования команды КВН будет равно:

\[\binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \ldots\]

Подставьте значение \(m\), равное количеству мальчиков в вашем классе, в соответствующее уравнение, и выполните необходимые вычисления для получения окончательного ответа.