Сколько команд могут иметь точно 12 побед по итогам кругового волейбольного турнира?

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим следующие факты:

1. В одном круговом волейбольном турнире каждая команда играет против каждой другой команды ровно один раз.
2. В каждом матче две команды играют друг против друга, и только одна команда может победить матч.
3. Каждая команда должна сыграть \(n-1\) матчей, где \(n\) - общее количество команд в турнире.

Чтобы определить, сколько команд могут иметь точно 12 побед, мы должны найти количество команд, которые сыграли ровно 11 матчей и одержали победу в каждом из них, а также одержали победу в одном из оставшихся матчей.

Предположим, что всего в турнире участвовало \(m\) команд. Каждая команда должна сыграть \(m-1\) матчей, поэтому общее количество матчей в турнире равно \(\frac{m(m-1)}{2}\).

Теперь предположим, что \(x\) команд сыграли ровно 11 матчей и победили все. Всего им было сыграно \(11x\) матчей и осталось еще \(\frac{m(m-1)}{2} - 11x\) матчей.

Чтобы определить, сколько команд имеют победу в одном из оставшихся матчей, мы должны поделить количество оставшихся матчей на 2, так как каждая игра включает две команды. Таким образом, количество команд, которые могут иметь победу в одном из оставшихся матчей, равно \(\frac{\frac{m(m-1)}{2} - 11x}{2}\).

Наша задача состоит в том, чтобы найти значения \(x\) и \(m\), которые удовлетворяют условию \(\frac{\frac{m(m-1)}{2} - 11x}{2} = 12\).

Можно решить эту задачу с помощью перебора возможных значений \(x\) и \(m\). Однако, чтобы упростить решение, мы можем воспользоваться методом подстановки.

Подставим различные значения для \(x\) и найдем соответствующие значения для \(m\):

\[
\begin{align*}
x = 1: \frac{\frac{m(m-1)}{2} - 11}{2} = 12 &\Rightarrow \frac{m(m-1)}{2} - 11 = 24 \\
x = 2: \frac{\frac{m(m-1)}{2} - 22}{2} = 12 &\Rightarrow \frac{m(m-1)}{2} - 22 = 24 \\
x = 3: \frac{\frac{m(m-1)}{2} - 33}{2} = 12 &\Rightarrow \frac{m(m-1)}{2} - 33 = 24 \\
\end{align*}
\]

Продолжая аналогично, мы можем получить различные значения для \(m\), которые удовлетворяют условию. Когда будут найдены значения для \(m\), мы можем найти значения для \(x\) путем подстановки найденного значения \(m\) в одно из уравнений.

Давайте решим одно из уравнений для \(x\), чтобы найти конкретное значение:

\[
\frac{m(m-1)}{2} - 11 = 24 \Rightarrow m(m-1) = 70 \Rightarrow m = 10
\]

Таким образом, если всего в турнире участвовало 10 команд, то ровно 12 побед могут иметь команды, которые сыграли ровно 11 матчей и победили все.