сколько клеток в прямоугольнике размером 2020 * 2021 закрашены черным цветом, если на каждой диагонали, соединяющей

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим одну из диагоналей, соединяющую противоположные вершины прямоугольника.

Длина этой диагонали будет равна наибольшему общему делителю \(d\) длин сторон прямоугольника. В данном случае, прямоугольник задан размерами 2020 и 2021, поэтому найдем наибольший общий делитель этих чисел.

НОД(2020, 2021) = 1.

Таким образом, длина диагонали будет равна 1. Из каждого ребра прямоугольника будет выступать по половине клеток (получим 2020 и 2021 половинку), а также будут закрашены те клетки, через которые проходит диагональ.

Далее, давайте посчитаем количество клеток, через которые проходит диагональ. Если клетка расположена горизонтально или вертикально относительно диагонали, то она точно будет преобразована в другой цвет (черный), так как диагональ будет проходить через ее центр. Количество таких клеток можно получить, просуммировав длину сторон прямоугольника и вычесть НОД этих чисел (2020 + 2021 - 1 = 4040).

Теперь мы знаем, что половина клеток из каждой стороны прямоугольника (1010 в случае 2020 и 1010 в случае 2021) и 4040 клеток, через которые проходит диагональ, закрашены черным цветом.

Чтобы найти общее количество черных клеток, нужно сложить эти значения:

\(1010 + 1010 + 4040 = 6060\).

Таким образом, в прямоугольнике размером 2020 x 2021 закрашены черным цветом 6060 клеток.