Сколько клеток было закрашено после проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике размером 2020 × 2021 и окраске всех

Чтобы ответить на этот вопрос, нам следует рассмотреть данную задачу пошагово.

1. В начале имеем прямоугольник размером 2020 × 2021, состоящий из клеток.

2. Если провести диагональ, она будет пересекать ряд клеток по вертикали и горизонтали.

3. Чтобы рассчитать количество закрашенных клеток, необходимо учесть, что диагональ может проходить через целые или дробные клетки.

4. Рассмотрим случай, когда диагональ проходит только через целые клетки. В этом случае, количество закрашенных клеток будет равно сумме ширины и высоты прямоугольника, минус количество клеток, из которых состоит диагональ. В нашем случае, ширина равна 2020, высота равна 2021, а количество клеток, которые занимает диагональ, можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора.

5. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза - это диагональ прямоугольника, а катеты - это ширина и высота прямоугольника.

6. Применим теорему Пифагора и найдем длину диагонали. В данном случае она будет равна \(\sqrt{2020^2 + 2021^2} \approx 2867.506\).

7. Так как нам известно, что диагональ в клетчатом прямоугольнике окрашивает только целые клетки, то мы можем принять эту длину диагонали и округлить ее вниз до ближайшего целого числа. Получаем, что количество закрашенных клеток, если диагональ проходит только через целые клетки, будет равно 2020 + 2021 - 2867 = 174.

8. Однако, в данной задаче диагональ может также проходить через дробные клетки. В этом случае, несколько клеток будут закрашены не полностью.

9. Для решения этой ситуации мы можем рассмотреть два варианта подсчета: сначала рассмотрим закрашенные целые клетки, а затем закрашенные дробные части клеток.

10. Для закрашенных целых клеток используем рассчитанные ранее 174 клетки.

11. Для рассчета дробных закрашенных клеток, мы можем вычислить разницу между длиной диагонали, рассчитанной по теореме Пифагора, и длиной диагонали, округленной вниз до ближайшего целого числа. В нашем случае, это будет примерно 2867.506 - 2867 = 0.506.

12. Теперь мы можем рассчитать количество закрашенных дробных клеток, умножив разницу на количество клеток, через которые проходит диагональ, при условии, что клетка занимает единичную площадь. В нашем случае, это будет \(0.506 \cdot 2867 \approx 1452.302\).

13. Так как мы не можем иметь дробные клетки, округлим это число вниз до ближайшего целого числа. Получаем, что количество закрашенных дробных клеток равно 1452.

14. Итак, общее количество закрашенных клеток будет равно сумме закрашенных целых и закрашенных дробных клеток: 174 + 1452 = 1626.

Итак, после проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике размером 2020 × 2021 и окраске всех пересекаемых отрезком клеточек в черный цвет, будет закрашено 1626 клеток.