Сколько хризантем можно использовать для составления букета из 5 цветов, если в вазе есть 12 хризантем и 7 роз?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать комбинаторику. Мы можем выбрать 5 цветов для букета из имеющихся хризантем и роз.

У нас есть две категории цветов: хризантемы и розы. Нам нужно выбрать определенное количество цветов каждого вида. Предлагаю рассмотреть несколько вариантов и подсчитать сколько хризантем можно использовать.

1. Вариант: Использовать 1 хризантему и 4 розы.
- Для выбора 1 хризантемы из 12 доступных у нас есть \(C^{1}_{12}\) способов выбора.
- Затем мы можем выбрать 4 розы из 7 доступных цветов \(C^{4}_{7}\) способами.
- Общее количество вариантов для этого варианта составляет произведение \(C^{1}_{12}\) и \(C^{4}_{7}\).

2. Вариант: Использовать 2 хризантемы и 3 розы.
- Для выбора 2 хризантем из 12 доступных у нас есть \(C^{2}_{12}\) способов выбора.
- Затем мы можем выбрать 3 розы из 7 доступных цветов \(C^{3}_{7}\) способами.
- Общее количество вариантов для этого варианта составляет произведение \(C^{2}_{12}\) и \(C^{3}_{7}\).

3. Вариант: Использовать 3 хризантемы и 2 розы.
- Для выбора 3 хризантем из 12 доступных у нас есть \(C^{3}_{12}\) способов выбора.
- Затем мы можем выбрать 2 розы из 7 доступных цветов \(C^{2}_{7}\) способами.
- Общее количество вариантов для этого варианта составляет произведение \(C^{3}_{12}\) и \(C^{2}_{7}\).

4. Вариант: Использовать 4 хризантемы и 1 розу.
- Для выбора 4 хризантем из 12 доступных у нас есть \(C^{4}_{12}\) способов выбора.
- Затем мы можем выбрать 1 розу из 7 доступных цветов \(C^{1}_{7}\) способом.
- Общее количество вариантов для этого варианта составляет произведение \(C^{4}_{12}\) и \(C^{1}_{7}\).

5. Вариант: Использовать все 5 хризантем.
- Для выбора всех 5 хризантем из 12 доступных у нас есть только 1 способ.

Таким образом, общее количество вариантов для составления букета из 5 цветов, используя хризантемы и розы, можно рассчитать, сложив количество вариантов для каждого варианта:
\[C^{1}_{12} \times C^{4}_{7} + C^{2}_{12} \times C^{3}_{7} + C^{3}_{12} \times C^{2}_{7} + C^{4}_{12} \times C^{1}_{7} + 1\]