Сколько цифр содержит двоичная запись числа 4^2016-2^2018+8^800-80​?

Чтобы решить эту задачу, давайте посчитаем количество цифр в каждом из слагаемых по отдельности и затем сложим результаты.

Первое слагаемое \(4^{2016}\). Чтобы найти количество цифр в этом числе, мы можем взять его логарифм по основанию 10 и прибавить 1. Формула для нахождения количества цифр в числе \(n\) выглядит следующим образом:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1 \]

Применяя эту формулу к \(4^{2016}\), получим:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor \log_{10}(4^{2016}) \rfloor + 1 \]

Чтобы упростить вычисление логарифма, воспользуемся свойством \(\log_{a}(b^k) = k \log_{a}(b)\). В нашем случае \(a = 10\), \(b = 4\) и \(k = 2016\):

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 2016 \log_{10}(4) \rfloor + 1 \]

Посчитаем значение логарифма и округлим его вниз:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 2016 \times 0.6021 \rfloor + 1 = \lfloor 1214.1216 \rfloor + 1 = 1214 + 1 = 1215 \]

Таким образом, первое слагаемое содержит 1215 цифр.

Теперь перейдем ко второму слагаемому \(2^{2018}\). Мы можем воспользоваться той же формулой для подсчета количества цифр:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor \log_{10}(2^{2018}) \rfloor + 1 \]

Применим свойство логарифма \(\log_{a}(b^k) = k \log_{a}(b)\) с \(a = 10\), \(b = 2\) и \(k = 2018\):

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 2018 \log_{10}(2) \rfloor + 1 \]

Посчитаем значение логарифма и округлим его вниз:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 2018 \times 0.3010 \rfloor + 1 = \lfloor 607.418 \rfloor + 1 = 607 + 1 = 608 \]

Таким образом, второе слагаемое содержит 608 цифр.

Перейдем к третьему слагаемому \(8^{800}\). Опять же, применим формулу для подсчета количества цифр:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor \log_{10}(8^{800}) \rfloor + 1 \]

Снова воспользуемся свойством логарифма \(\log_{a}(b^k) = k \log_{a}(b)\) с \(a = 10\), \(b = 8\) и \(k = 800\):

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 800 \log_{10}(8) \rfloor + 1 \]

Посчитаем значение логарифма и округлим его вниз:

\[ \text{{Количество цифр}} = \lfloor 800 \times 0.9031 \rfloor + 1 = \lfloor 722.488 \rfloor + 1 = 722 + 1 = 723 \]

Таким образом, третье слагаемое содержит 723 цифры.

Наконец, посмотрим на последнее слагаемое \(-80\). Это трехзначное число, поэтому содержит 3 цифры.

Теперь суммируем количество цифр в каждом слагаемом:

\[ 1215 + 608 + 723 + 3 = 2549 \]

Итак, двоичная запись числа \(4^{2016}-2^{2018}+8^{800}-80\) содержит 2549 цифр.

Надеюсь, что ответ был понятен и подробен для вас! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!