Сколько чисел существует, у которых в шестнадцатеричной записи содержится 5 цифр, и при этом все цифры различны

Данная задача связана с перестановками и комбинаторикой. Давайте разберемся в ее решении пошагово.

Шаг 1: Изучение требований задачи
В задаче нам требуется определить количество чисел, у которых в шестнадцатеричной записи содержится 5 цифр, все цифры различны, и при этом ни одна пара четных и нечетных цифр не стоит рядом.

Шаг 2: Анализ требований задачи
Мы воспользуемся принципом установления биекции и перейдем к решению аналогичной задачи для шестнадцатеричной системы счисления.

Шаг 3: Решение аналогичной задачи
Допустим, у нас есть 5 различных шестнадцатеричных цифр: a, b, c, d, e.

Аналогичная задача заключается в нахождении количества способов расположить эти цифры так, чтобы ни одна пара четных и нечетных цифр не стояла рядом.

Шаг 4: Первая цифра
Первая цифра может быть любой из 5 доступных нам цифр: a, b, c, d, e. Таким образом, у нас есть 5 вариантов для первой цифры.

Шаг 5: Вторая цифра
Вторая цифра не может быть ни четной, ни нечетной. Предположим, что первая цифра была четной, тогда у нас останется 4 варианта для выбора второй цифры. Аналогично, если первая цифра была нечетной, у нас также останется 4 варианта для выбора второй цифры.

Всего у нас есть 5 вариантов на выбор первой цифры, и для каждого из этих вариантов у нас будет 4 варианта для выбора второй цифры, итого: \(5 \cdot 4 = 20\) возможных комбинаций первой и второй цифры.

Шаг 6: Третья цифра
Третья цифра не может быть ни четной, ни нечетной. Аналогично предыдущему шагу, для каждой комбинации первой и второй цифр у нас останется 4 варианта для выбора третьей цифры.

Таким образом, у нас есть 20 комбинаций первых двух цифр, и для каждой из них у нас есть 4 варианта для выбора третьей цифры, итого: \(20 \cdot 4 = 80\) возможных комбинаций первых трех цифр.

Шаг 7: Четвертая цифра
Четвертая цифра может быть как четной, так и нечетной.

Если третья цифра была четной, то у нас останется 3 варианта для выбора четвертой цифры (так как у нас уже использована одна четная цифра).

Если третья цифра была нечетной, то у нас снова останется 4 варианта для выбора четвертой цифры.

Таким образом, у нас есть 80 комбинаций первых трех цифр, и для каждой из них у нас есть 3 или 4 варианта для выбора четвертой цифры, итого: \(80 \cdot (3 + 4) = 560\) возможных комбинаций первых четырех цифр.

Шаг 8: Пятая цифра
Последняя, пятая цифра не может быть ни четной, ни нечетной. Аналогично предыдущим шагам, для каждой комбинации первых четырех цифр у нас останется 4 варианта для выбора пятой цифры.

Таким образом, у нас есть 560 комбинаций первых четырех цифр, и для каждой из них у нас есть 4 варианта для выбора пятой цифры, итого: \(560 \cdot 4 = 2240\) возможных комбинаций всех пяти цифр.

Шаг 9: Ответ
Ответ: Существует 2240 чисел в шестнадцатеричной системе счисления, у которых в шестнадцатеричной записи содержится 5 цифр, все цифры различны, и при этом ни одна пара четных и нечетных цифр не стоит рядом.