Сколько чисел единиц в двоичном представлении выражения 8^2014 - 2^614?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать двоичное представление числа и основные свойства возведения в степень.

Двоичная система счисления основывается на использовании только двух цифр: 0 и 1. В двоичном представлении число 8 выглядит как 1000, а число 2 - как 10.

Чтобы найти двоичное представление выражения \(8^{2014} - 2^{614}\), нам нужно разложить каждое из чисел на множители и выразить их в двоичной системе.

Начнем с первого слагаемого, \(8^{2014}\). Поскольку число 8 представляется в двоичной системе как 1000, повторное возведение в эту степень будет просто добавлять нули в конец двоичного представления. Найдя двоичное представление числа 2014, мы сможем понять, сколько нулей нужно добавить к числу 1000. Найдем двоичное представление числа 2014:

\[
2014_{10} = 2^{10} + 2^9 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^3 + 2^1
\]

\[
2014_{10} = 11111011110_2
\]

Теперь мы знаем, что двоичное представление числа \(8^{2014}\) будет выглядеть как 1000, за которым следует 11 нулей, а затем 111011110.

Теперь рассмотрим второе слагаемое, \(2^{614}\). В двоичной системе число 2 представляется просто как 10. Чтобы найти двоичное представление числа \(2^{614}\), нам нужно разложить 614 на его множители:

\[
614_{10} = 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^3 + 2^1
\]

\[
614_{10} = 1001100010_2
\]

Таким образом, двоичное представление числа \(2^{614}\) будет выглядеть как 10, за которым следуют 9 нулей, а затем 1000010.

Теперь, чтобы найти двоичное представление разности \(8^{2014} - 2^{614}\), мы вычитаем соответствующие биты друг из друга. Нули вычитаются без изменений, а единицы превращаются в нули:

\[
\begin{align*}
& \quad 1000111010000 \\
& \quad \underline{-\quad \quad \quad 1000010} \\
& \quad 1000010001110 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, двоичное представление выражения \(8^{2014} - 2^{614}\) будет выглядеть как 1000010001110.

Теперь нам нужно посчитать количество чисел единиц в этом двоичном представлении. Мы можем просто просуммировать все единицы, чтобы найти ответ:

\[
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8
\]

Таким образом, в двоичном представлении выражения \(8^{2014} - 2^{614}\) содержится 8 чисел единиц.