Сколько чисел единиц в двоичном представлении выражения 8^2014 - 2^614?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать двоичное представление числа и основные свойства возведения в степень.

Двоичная система счисления основывается на использовании только двух цифр: 0 и 1. В двоичном представлении число 8 выглядит как 1000, а число 2 - как 10.

Чтобы найти двоичное представление выражения $8^{2014}-2^{614}$, нам нужно разложить каждое из чисел на множители и выразить их в двоичной системе.

Начнем с первого слагаемого, $8^{2014}$. Поскольку число 8 представляется в двоичной системе как 1000, повторное возведение в эту степень будет просто добавлять нули в конец двоичного представления. Найдя двоичное представление числа 2014, мы сможем понять, сколько нулей нужно добавить к числу 1000. Найдем двоичное представление числа 2014:

$${2014}_{10}=2^{10}+2^9+2^7+2^6+2^5+2^3+2^1$$

$${2014}_{10}={11111011110}_2$$

Теперь мы знаем, что двоичное представление числа $8^{2014}$ будет выглядеть как 1000, за которым следует 11 нулей, а затем 111011110.

Теперь рассмотрим второе слагаемое, $2^{614}$. В двоичной системе число 2 представляется просто как 10. Чтобы найти двоичное представление числа $2^{614}$, нам нужно разложить 614 на его множители:

$${614}_{10}=2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^3+2^1$$

$${614}_{10}={1001100010}_2$$

Таким образом, двоичное представление числа $2^{614}$ будет выглядеть как 10, за которым следуют 9 нулей, а затем 1000010.

Теперь, чтобы найти двоичное представление разности $8^{2014}-2^{614}$, мы вычитаем соответствующие биты друг из друга. Нули вычитаются без изменений, а единицы превращаются в нули:

$$\begin{array}{rl}& 1000111010000\\ & \underset{―}{-1000010}\\ & 1000010001110\end{array}$$

Таким образом, двоичное представление выражения $8^{2014}-2^{614}$ будет выглядеть как 1000010001110.

Теперь нам нужно посчитать количество чисел единиц в этом двоичном представлении. Мы можем просто просуммировать все единицы, чтобы найти ответ:

$$1+1+1+1+1+1+1+1=8$$

Таким образом, в двоичном представлении выражения $8^{2014}-2^{614}$ содержится 8 чисел единиц.