Сколько четырёхзначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления существует, в которых все цифры различны и никакие

Чтобы решить эту задачу, мы разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Определение шестнадцатеричной системы счисления.
Шестнадцатеричная система счисления - это система, основанная на 16 символах: цифры от 0 до 9 и буквы от A до F. В этой системе каждая цифра имеет свое значение в зависимости от ее позиции.

Шаг 2: Определение количества четырехзначных чисел в шестнадцатеричной системе.
Чтобы получить общее количество четырехзначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления, нам нужно знать, какое количество символов может быть использовано на каждой позиции.

- На первой позиции (самой левой) может быть любой символ от 1 до F (так как число не может начинаться с нуля).
- На каждой из трех оставшихся позиций может быть любой символ от 0 до F.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел в шестнадцатеричной системе равно \(15 \times 16 \times 16 \times 16 = 60,480\).

Шаг 3: Учет ограничений на различность цифр и расположение четных и нечетных цифр.
Мы должны учесть ограничение, которое говорит нам о том, что цифры в числе должны быть различными, и никакие две четные или две нечетные цифры не должны стоять рядом.

Возможные сценарии размещения четных и нечетных цифр:
- Четные цифры могут занимать позиции 1 и 3, а нечетные - позиции 2 и 4.
- Четные цифры могут занимать позиции 2 и 4, а нечетные - позиции 1 и 3.

Давайте рассмотрим каждый сценарий по отдельности.

Сценарий 1: Четные цифры занимают позиции 1 и 3, а нечетные - позиции 2 и 4.
- Определение количества способов выбрать четную цифру для позиции 1: 8 (0, 2, 4, 6, 8, A, C, E).
- Определение количества способов выбрать нечетную цифру для позиции 2: 7 (1, 3, 5, 7, 9, B, D).
- Определение количества способов выбрать четную цифру для позиции 3: 7 (0, 2, 4, 6, 8, A, C).
- Определение количества способов выбрать нечетную цифру для позиции 4: 6 (1, 3, 5, 7, 9, B).

Общее количество четырехзначных чисел для сценария 1 равно \(8 \times 7 \times 7 \times 6 = 2,352\).

Сценарий 2: Четные цифры занимают позиции 2 и 4, а нечетные - позиции 1 и 3.
- Определение количества способов выбрать нечетную цифру для позиции 1: 7 (1, 3, 5, 7, 9, B, D).
- Определение количества способов выбрать четную цифру для позиции 2: 8 (0, 2, 4, 6, 8, A, C, E).
- Определение количества способов выбрать нечетную цифру для позиции 3: 6 (1, 3, 5, 7, 9, B).
- Определение количества способов выбрать четную цифру для позиции 4: 7 (0, 2, 4, 6, 8, A, C).

Общее количество четырехзначных чисел для сценария 2 равно \(7 \times 8 \times 6 \times 7 = 2,352\).

Шаг 4: Суммирование результатов двух сценариев.
Чтобы получить общее количество четырехзначных чисел в шестнадцатеричной системе, которые удовлетворяют всем условиям задачи, мы должны сложить результаты двух сценариев.

Общее количество четырехзначных чисел будет равно сумме результатов сценария 1 и сценария 2:
\[2,352 + 2,352 = 4,704.\]

Итак, существует 4,704 четырехзначных чисел в шестнадцатеричной системе счисления, в которых все цифры различны и никакие две четные или две нечетные цифры не стоят рядом.