Сколько целых чисел существует, для которых неравенство x^2-6x-27

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам дано неравенство \(x^2 - 6x - 27 < 0\). Нам нужно определить, сколько целых чисел удовлетворяют этому неравенству.

Шаг 1: Решим квадратное уравнение

Начнем с того, что находим корни уравнения \(x^2 - 6x - 27 = 0\). Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = -27\).

Выписываем значения:

\[D = (-6)^2 - 4(1)(-27)\]
\[D = 36 + 108\]
\[D = 144\]

Шаг 2: Находим корни уравнения

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения:

\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[x_1 = \frac{6 + 12}{2}\]
\[x_1 = \frac{18}{2}\]
\[x_1 = 9\]

\[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{6 - 12}{2}\]
\[x_2 = \frac{-6}{2}\]
\[x_2 = -3\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 9\) и \(x_2 = -3\).

Шаг 3: Построение числовой прямой

Теперь, чтобы определить, сколько целых чисел удовлетворяют неравенству \(x^2 - 6x - 27 < 0\), построим числовую прямую и отметим на ней найденные корни.

-∞ -3 9 +∞

Шаг 4: Анализ интервалов

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные корни (-∞, -3), (-3, 9), (9, +∞).

Шаг 5: Проверка интервалов

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить, какой знак получится.

Для интервала (-∞, -3): Выберем x = -4
\[(-4)^2 - 6(-4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0\]

Для интервала (-3, 9): Выберем x = 0
\[0^2 - 6(0) - 27 = -27 < 0\]

Для интервала (9, +∞): Выберем x = 10
\[10^2 - 6(10) - 27 = 2 > 0\]

Шаг 6: Определение интервалов сответствия неравенству

Исходя из результатов проверки, определим интервалы, в которых неравенство истинно.

Для интервала (-∞, -3): неравенство ложно.
Для интервала (-3, 9): неравенство истинно.
Для интервала (9, +∞): неравенство ложно.

Шаг 7: Ответ

Таким образом, неравенство \(x^2 - 6x - 27 < 0\) истинно для всех значений x в интервале (-3, 9). В этом интервале находятся целые числа -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, и 8. Таким образом, существует 12 целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству.

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!