Сколько автомашин, по шоссе в час проезжает, чтобы вероятность того, что машине потребуется заправка на бензоколонке

Для решения этой задачи нам потребуется знать два параметра: среднее количество автомашин, проезжающих по шоссе за час, и вероятность того, что конкретная машина потребует заправку на бензоколонке.

Пусть \(X\) - это количество автомашин, проезжающих по шоссе за час. Мы хотим найти такое значение \(X\), чтобы вероятность того, что машине потребуется заправка, составляла 0,4.

Так как у нас нет информации о распределении количества автомашин, мы можем использовать модель Пуассона для приближенного решения. В модели Пуассона вероятность события определяется по формуле:

\[P(X=k) = \frac{{e^{-\lambda}\lambda^k}}{{k!}}\]

где \(k\) - количество событий, \(\lambda\) - среднее количество событий.

Для решения первого вопроса нам нужно найти значение \(\lambda\), при котором вероятность того, что машине потребуется заправка, составляет 0,4. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[P(X\geq1) = 1 - P(X=0) = 0.4\]

Подставим в уравнение значение \(\lambda\) и решим его:

\[1 - \frac{{e^{-\lambda}\lambda^0}}{{0!}} = 0.4\]

\[1 - e^{-\lambda} = 0.4\]

\[e^{-\lambda} = 0.6\]

\[-\lambda = \ln(0.6)\]

\[\lambda = -\ln(0.6)\]

Используя калькулятор, мы получаем \(\lambda \approx 0.5108\). Таким образом, среднее количество автомашин, проезжающих по шоссе за час, составляет около 0.5108.

Теперь перейдем ко второй части задачи, связанной с вероятностью заправки на бензоколонке.

а) Мы хотим найти вероятность того, что за час на бензоколонке заправятся ровно 50 машин. Мы можем использовать формулу модели Пуассона, чтобы рассчитать это:

\[P(X=50) = \frac{{e^{-\lambda}\lambda^{50}}}{{50!}}\]

где \(\lambda\) - среднее количество автомашин, проезжающих за час (в нашем случае \(\lambda \approx 0.5108\)).

б) Мы хотим найти вероятность того, что за час на бензоколонке заправятся 50 или больше машин. Мы можем использовать формулу модели Пуассона и сложить вероятности для каждого значения, начиная с 50 и до бесконечности:

\[P(X \geq 50) = P(X=50) + P(X=51) + P(X=52) + \ldots\]

Теперь перейдем к последней части задачи о вероятности того, что из трех проехавших машин хотя бы одна потребуется заправка.

Пусть \(Y\) - это количество машин, из которых хотя бы одна потребуется заправка. Мы хотим найти вероятность значения \(Y \geq 1\), при условии, что только 3 машины проехали.

Мы можем решить эту задачу с помощью следующей формулы условной вероятности:

\[P(Y \geq 1 | X=3) = \frac{{P(Y \geq 1 \cap X=3)}}{{P(X=3)}}\]

Предположим, что условие \(Y \geq 1 \cap X=3\) выполняется, если хотя бы одна машина из трех будет требовать заправку. То есть, нам нужно найти вероятность того, что хотя бы одна машина требует заправку, при условии, что только 3 машины проехали.

Мы можем найти \(P(Y \geq 1 \cap X=3)\), используя формулу модели Пуассона, подставив \(\lambda \approx 0.5108\) и \(k = 1\):

\[P(Y \geq 1 \cap X=3) = P(X=3)\cdot P(Y \geq 1 | X=3)\]
\[= \frac{{e^{-\lambda}\lambda^3}}{3!} \cdot 1\]

Мы также должны найти \(P(X=3)\), подставив \(\lambda \approx 0.5108\) и \(k = 3\):

\[P(X=3) = \frac{{e^{-\lambda}\lambda^3}}{3!}\]

Теперь, используя найденные значения, мы можем рассчитать \(P(Y \geq 1 | X=3)\):

\[P(Y \geq 1 | X=3) = \frac{{P(Y \geq 1 \cap X=3)}}{{P(X=3)}}\]

В итоге, мы найдем вероятность, которую нужно было найти по условию задачи.