Сколько 1-ц в двоичном представлении результата выражения 4^2018 + 8^305 - 2^130 - 120? с подробным объяснением

Давайте разделим решение данной задачи на несколько шагов для более понятного объяснения.
Шаг 1: В первую очередь, нам нужно вычислить значение данного математического выражения \(4^{2018} + 8^{305} - 2^{130} - 120\).

Шаг 2: Начнем с вычисления степеней чисел. Для начала возведем 4 в степень 2018. У нас есть формула для этого: \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \ldots a}_{n \text{ раз}}\). В данном случае \(a = 4\) и \(n = 2018\), поэтому нужно умножить число 4 само на себя 2018 раз.

Шаг 3: Для более удобного вычисления возведения в степень воспользуемся следующей формулой: \(a^{n+m} = a^n \cdot a^m\). В нашем случае, \(4^{2018} = (2^2)^{2018} = 2^{2 \cdot 2018} = 2^{4036}\). Здесь мы использовали свойство степени с двойкой и привели 4 к виду \(2^2\), а затем умножили показатели степени.

Шаг 4: Теперь возьмемся за следующее слагаемое, \(8^{305}\). Приведем это число к более удобному виду, учитывая, что \(8 = 2^3\). Тогда получаем \(8^{305} = (2^3)^{305} = 2^{3 \cdot 305} = 2^{915}\).

Шаг 5: Далее вычислим \(2^{130}\). Приведем это число к степени 2, которая является более простой. Используя свойства степеней, \(2^{130} = (2^7)^{18} = 2^{7 \cdot 18} = 2^{126}\).

Шаг 6: Теперь мы можем собрать все слагаемые вместе и вычислить значение выражения. Имеем выражение \(2^{4036} + 2^{915} - 2^{126} - 120\).

Шаг 7: Чтобы вычислить это значение, нам нужно привести все слагаемые к общей степени или выразить числа в виде степеней числа 2. Воспользуемся свойством степени: \(2^a + 2^b = 2^{\text{макс}(a, b)} \cdot (1 + 2^{\text{мин}(a, b) - \text{макс}(a, b)})\).

Шаг 8: Применим данное свойство к слагаемым. Получаем:

\[
\begin{align*}
2^{4036} &= 2^{4036} \cdot 1 \\
2^{915} &= 2^{4036} \cdot 2^{915 - 4036} = 2^{4036} \cdot 2^{-3121} \\
2^{126} &= 2^{4036} \cdot 2^{126 - 4036} = 2^{4036} \cdot 2^{-3910}
\end{align*}
\]

Шаг 9: Теперь можем записать итоговое выражение: \(2^{4036} \cdot (1 + 2^{-3121} - 2^{-3910}) - 120\).

Шаг 10: Далее проведем сложение и вычитание в скобках. Обратите внимание, что мы работаем только с степенями числа 2, поэтому сложение и вычитание здесь происходит только с показателями степени.

\[
2^{4036} \cdot (1 + 2^{-3121} - 2^{-3910}) - 120 = 2^{4036} \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{3121}} - \frac{1}{2^{3910}}\right) - 120
\]

Шаг 11: Теперь, когда мы получили выражение только с показателями степени, можем выполнить операции сложения и вычитания:

\[
2^{4036} \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{3121}} - \frac{1}{2^{3910}}\right) - 120 = 2^{4036} \cdot \frac{2^{3121} + 1 - 2^{3910}}{2^{3121}} - 120
\]

Шаг 12: Теперь, когда у нас есть единый показатель степени для всех слагаемых, мы можем привести числитель к общему знаменателю:

\[
2^{3121} + 1 - 2^{3910} = 2^{3121} - 2^{3910} + 1
\]

Шаг 13: Таким образом, итоговое выражение принимает вид:

\[
2^{4036} \cdot \frac{2^{3121} - 2^{3910} + 1}{2^{3121}} - 120
\]

Шаг 14: Для того чтобы подсчитать, сколько 1-ц в двоичном представлении данного числа, нам нужно привести итоговое выражение к бинарному виду.

Шаг 15: Конвертируем числитель в двоичную систему счисления:

\[
2^{3121} - 2^{3910} + 1 = 1\underbrace{00...0}_{3119} - 1\underbrace{0...0}_{3108} + 1
\]

Шаг 16: Выполняем вычитание:

\[
1\underbrace{00...0}_{3119} - 1\underbrace{0...0}_{3108} + 1 = 11\underbrace{0...0}_{3108} + 1
\]

Шаг 17: Далее выполняем умножение:

\[
2^{4036} \cdot \frac{11\underbrace{0...0}_{3108} + 1}{2^{3121}} - 120 = \left(2^{4036-3121} \cdot (11\underbrace{0...0}_{3108} + 1)\right) - 120
\]

\[
= 2^{915} \cdot (11\underbrace{0...0}_{3108} + 1) - 120
\]

Шаг 18: Теперь приведём каждое слагаемое к единому виду:

\[
2^{915} = 1\underbrace{00...0}_{914}
\]

\[
11\underbrace{0...0}_{3108} + 1 = 1\underbrace{00...0}_{3108}
\]

Шаг 19: Подставим полученные значения в исходное выражение:

\[
1\underbrace{00...0}_{914} \cdot 1\underbrace{00...0}_{3108} - 120
\]

Шаг 20: Теперь мы можем подсчитать, сколько 1-ц находится в двоичном представлении данного числа:

\[
1\underbrace{00...0}_{914} = 2^{915} = 100\dots0
\]

\[
1\underbrace{00...0}_{3108} = 2^{3109} = 1\underbrace{00...0}_{3109}
\]

Шаг 21: Получили, что количество 1-ц в двоичном представлении данного числа равно \[2^{915} \cdot 2^{3109} = 2^{915 + 3109} = 2^{4024}\].

В итоге, в данном выражении количество 1-ц в двоичном представлении результата \(4^{2018} + 8^{305} - 2^{130} - 120\) равно \(2^{4024}\).

Если возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.