Сколько 1-ц в двоичном представлении результата выражения 4^2018 + 8^305 - 2^130 - 120? с подробным объяснением

Давайте разделим решение данной задачи на несколько шагов для более понятного объяснения.
Шаг 1: В первую очередь, нам нужно вычислить значение данного математического выражения $4^{2018}+8^{305}-2^{130}-120$.

Шаг 2: Начнем с вычисления степеней чисел. Для начала возведем 4 в степень 2018. У нас есть формула для этого: $a^n=\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\dots a}}$. В данном случае $a=4$ и $n=2018$, поэтому нужно умножить число 4 само на себя 2018 раз.

Шаг 3: Для более удобного вычисления возведения в степень воспользуемся следующей формулой: $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$. В нашем случае, $4^{2018}=(2^2{)}^{2018}=2^{2\cdot 2018}=2^{4036}$. Здесь мы использовали свойство степени с двойкой и привели 4 к виду $2^2$, а затем умножили показатели степени.

Шаг 4: Теперь возьмемся за следующее слагаемое, $8^{305}$. Приведем это число к более удобному виду, учитывая, что $8=2^3$. Тогда получаем $8^{305}=(2^3{)}^{305}=2^{3\cdot 305}=2^{915}$.

Шаг 5: Далее вычислим $2^{130}$. Приведем это число к степени 2, которая является более простой. Используя свойства степеней, $2^{130}=(2^7{)}^{18}=2^{7\cdot 18}=2^{126}$.

Шаг 6: Теперь мы можем собрать все слагаемые вместе и вычислить значение выражения. Имеем выражение $2^{4036}+2^{915}-2^{126}-120$.

Шаг 7: Чтобы вычислить это значение, нам нужно привести все слагаемые к общей степени или выразить числа в виде степеней числа 2. Воспользуемся свойством степени: $2^a+2^b=2^{\text{макс}(a,b)}\cdot (1+2^{\text{мин}(a,b)-\text{макс}(a,b)})$.

Шаг 8: Применим данное свойство к слагаемым. Получаем:

$$\begin{array}{rl}{2}^{4036}& =2^{4036}\cdot 1\\ 2^{915}& =2^{4036}\cdot 2^{915-4036}=2^{4036}\cdot 2^{-3121}\\ 2^{126}& =2^{4036}\cdot 2^{126-4036}=2^{4036}\cdot 2^{-3910}\end{array}$$

Шаг 9: Теперь можем записать итоговое выражение: $2^{4036}\cdot (1+2^{-3121}-2^{-3910})-120$.

Шаг 10: Далее проведем сложение и вычитание в скобках. Обратите внимание, что мы работаем только с степенями числа 2, поэтому сложение и вычитание здесь происходит только с показателями степени.

$$2^{4036}\cdot (1+2^{-3121}-2^{-3910})-120=2^{4036}\cdot (1+\frac{1}{2^{3121}}-\frac{1}{2^{3910}})-120$$

Шаг 11: Теперь, когда мы получили выражение только с показателями степени, можем выполнить операции сложения и вычитания:

$$2^{4036}\cdot (1+\frac{1}{2^{3121}}-\frac{1}{2^{3910}})-120=2^{4036}\cdot \frac{2^{3121}+1-2^{3910}}{2^{3121}}-120$$

Шаг 12: Теперь, когда у нас есть единый показатель степени для всех слагаемых, мы можем привести числитель к общему знаменателю:

$$2^{3121}+1-2^{3910}=2^{3121}-2^{3910}+1$$

Шаг 13: Таким образом, итоговое выражение принимает вид:

$$2^{4036}\cdot \frac{2^{3121}-2^{3910}+1}{2^{3121}}-120$$

Шаг 14: Для того чтобы подсчитать, сколько 1-ц в двоичном представлении данного числа, нам нужно привести итоговое выражение к бинарному виду.

Шаг 15: Конвертируем числитель в двоичную систему счисления:

$$2^{3121}-2^{3910}+1=1\underset{3119}{\underbrace{00...0}}-1\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1$$

Шаг 16: Выполняем вычитание:

$$1\underset{3119}{\underbrace{00...0}}-1\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1=11\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1$$

Шаг 17: Далее выполняем умножение:

$$2^{4036}\cdot \frac{11\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1}{2^{3121}}-120=(2^{4036-3121}\cdot (11\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1))-120$$

$$=2^{915}\cdot (11\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1)-120$$

Шаг 18: Теперь приведём каждое слагаемое к единому виду:

$$2^{915}=1\underset{914}{\underbrace{00...0}}$$

$$11\underset{3108}{\underbrace{0...0}}+1=1\underset{3108}{\underbrace{00...0}}$$

Шаг 19: Подставим полученные значения в исходное выражение:

$$1\underset{914}{\underbrace{00...0}}\cdot 1\underset{3108}{\underbrace{00...0}}-120$$

Шаг 20: Теперь мы можем подсчитать, сколько 1-ц находится в двоичном представлении данного числа:

$$1\underset{914}{\underbrace{00...0}}=2^{915}=100\dots 0$$

$$1\underset{3108}{\underbrace{00...0}}=2^{3109}=1\underset{3109}{\underbrace{00...0}}$$

Шаг 21: Получили, что количество 1-ц в двоичном представлении данного числа равно $$2^{915}\cdot 2^{3109}=2^{915+3109}=2^{4024}$$.

В итоге, в данном выражении количество 1-ц в двоичном представлении результата $4^{2018}+8^{305}-2^{130}-120$ равно $2^{4024}$.

Если возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.