Скільки вершин має правильний многокутник, у якого зовнішній кут менший за внутрішній на 108°?

Чтобы решить эту задачу, давайте проведем несколько шагов:

1. Вспомним, что правильный многокутник - это многокутник, все углы и стороны которого равны. Также известно, что внутренний и внешний углы примыкающих сторон многокутника образуют линейные пары (сумма внутреннего и внешнего угла равна 180 градусов).

2. Пусть угол многокутника равен A градусов. Тогда внешний угол будет составлять (180 - A) градусов (так как они образуют линейную пару).

3. По условию задачи внутренний угол больше внешнего на 108 градусов. То есть A = (180 - A) + 108.

4. Решим уравнение: A = (180 - A) + 108.

Раскроем скобки: A = 180 - A + 108.

Перенесем A влево: 2A = 288.

Разделим обе стороны на 2: A = 144.

Таким образом, угол многокутника равен 144 градусам.

5. Теперь найдем количество вершин многокутника. Для этого вспомним формулу, связывающую количество вершин (n) с углом между примыкающими сторонами (A):

n = 360 / A.

Подставим значение A = 144: n = 360 / 144.

Рассчитаем ответ: n = 2.5.

6. Ответ: получается, что правильный многокутник с внутренним углом в 144 градуса и внешним углом на 36 градусов меньше имеет 2.5 вершины. Мы не можем иметь половину вершины, поэтому такого многокутника не существует.

Вывод: Невозможно построить правильный многокутник с внешним углом, который меньше внутреннего на 108 градусов.