Скільки тепла потрібно додати одному молекулі ідеального одноатомного газу, який міститься у закритому балоні

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые концепции из физики, включая уравнение состояния идеального газа и формулу для работы, совершаемой над газом.

Итак, у нас есть идеальный одноатомный газ, содержащийся в закрытом баллоне при температуре 27 °C. Мы хотим узнать, сколько тепла нужно добавить одной молекуле газа, чтобы утроить его давление.

Предположим, что в начале у нас есть \(N\) молекул газа, и его давление равно \(P_1\). Мы также знаем, что температура газа равна \(T_1\), которую мы можем преобразовать в абсолютную шкалу, вычтя 273.

Теперь, когда мы добавляем тепло к газу, его давление изменяется. Мы предполагаем, что количество газа и его температура остаются неизменными. Также предполагается, что расширение или сжатие газа происходит без потери энергии в виде работы.

Используем уравнение состояния идеального газа: \[PV = nRT\], где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество молекул газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура в абсолютной шкале.

Поскольку у нас есть только одна молекула газа, можно сказать, что \(n = 1\).

Мы также можем записать уравнение работы, совершаемой над газом: \[W = P_2 \cdot V - P_1 \cdot V\], где \(W\) - работа, \(P_2\) - конечное давление, а \(P_1\) - начальное давление. Так как мы хотим утроить давление, то \(P_2 = 3 \cdot P_1\).

Теперь, чтобы найти количество тепла, нужное для увеличения давления, нам нужно выразить работу через количество тепла, используя первый закон термодинамики: \(Q = W\).

То есть нам нужна формула для работы: \[W = nC_V \cdot \Delta T\], где \(C_V\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме, а \(\Delta T\) - изменение температуры в абсолютной шкале.

Окончательный шаг - это объединить все уравнения и решить для количества тепла.

Исходя из наших предположений, сначала найдем исходный объем газа. Пусть \(V_1\) - начальный объем. Мы также предполагаем, что закрытый баллон сохраняет объем постоянным, поэтому \(V_1 = V_2\).

Теперь давайте воспользуемся формулами:

\[
PV = nRT
\]

\(P_1 \cdot V_1 = 1 \cdot R \cdot T_1\)

\[
P_1 \cdot V_2 = R \cdot T_1 \quad \text{(1)}
\]

\[
W = nC_V \cdot \Delta T
\]

\[
W = C_V \cdot \Delta T \quad \text{(так как } n = 1)
\]

Теперь объединим уравнения работы:

\[
C_V \cdot \Delta T = P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_2
\]

\[
C_V \cdot \Delta T = 3 \cdot P_1 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_2 \quad \text{(так как } P_2 = 3 \cdot P_1 \text{)}
\]

\[
C_V \cdot \Delta T = 2 \cdot P_1 \cdot V_2 \quad \text{(2)}
\]

Теперь мы можем объединить уравнение (1) и уравнение (2) и решить его относительно количества тепла \(\Delta Q\):

\[
2 \cdot P_1 \cdot V_2 = R \cdot T_1
\]

\[
C_V \cdot \Delta T = 2 \cdot P_1 \cdot V_2
\]

\[
\Delta Q = C_V \cdot \Delta T = 2 \cdot P_1 \cdot V_2
\]

Теперь, чтобы найти конечный ответ, подставим известные значения. Предоставленная температура составляет 27 °C, а универсальная газовая постоянная \(R\) примерно равна 8.3141 Дж/(моль·К) для идеального газа. Нужно также помнить, что одна моль идеального газа содержит примерно \(6.022 \cdot 10^{23}\) молекул.

Мы получаем итоговую формулу:

\[
\Delta Q = 2 \cdot P_1 \cdot V_2 = 2 \cdot P_1 \cdot V_1 = 2 \cdot P_1 \cdot \frac{R \cdot T_1}{P_1} = 2 \cdot R \cdot T_1
\]

Теперь можем подставить значения и решить:

\[
\Delta Q = 2 \cdot 8.3141 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot (27 + 273) \, \text{К} = 2 \cdot 8.3141 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 300 \, \text{К} = 4988.46 \, \text{Дж}
\]

Таким образом, нужно добавить приблизительно 4988.46 Дж тепла одной молекуле, чтобы увеличить давление газа втрое.