Сходимость последовательности xₙ и наличие бесконечного числа членов xₙ в любой окрестности нуля подразумевает

Для обоснования данного утверждения воспользуемся определением предела последовательности.

По определению, для того чтобы число \(L\) было пределом последовательности \(\{x_n\}\), необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа \(\varepsilon\) можно было найти номер \(N\), начиная с которого все члены последовательности находятся на расстоянии меньше \(\varepsilon\) от числа \(L\), то есть \(|x_n - L| < \varepsilon\) при \(n > N\).

Теперь предположим, что последовательность \(\{x_n\}\) сходится к нулю, то есть \(\lim_{{n \to \infty}} x_n = 0\). Это означает, что для любого положительного числа \(\varepsilon\) можно найти номер \(N\), начиная с которого все члены нашей последовательности \(x_n\) находятся на расстоянии меньше \(\varepsilon\) от числа 0: \(|x_n - 0| < \varepsilon\) при \(n > N\).

Далее посмотрим на условие сходимости и наличие бесконечного числа членов \(x_n\) в любой окрестности нуля. Если есть окрестность нуля, то можно найти число \(\varepsilon_0\), где \(\varepsilon_0\) - положительное число, такое что \(-\varepsilon_0 < 0 < \varepsilon_0\).

Так как последовательность \(\{x_n\}\) сходится к нулю, существует номер \(N_0\), начиная с которого все члены нашей последовательности находятся в этой окрестности нуля, то есть \(|x_n - 0| < \varepsilon_0\) при \(n > N_0\).

Так как в условии сказано, что для любой окрестности нуля существует бесконечное число членов \(x_n\), то после номера \(N_0\) мы можем выбрать любой из бесконечного набора членов последовательности, находящихся в этой окрестности. Пусть выбран номер \(n_1 > N_0\), тогда \(|x_{n_1} - 0| < \varepsilon_0\).

Аналогично, выбираем номер \(n_2 > n_1\) такой, что \(|x_{n_2} - 0| < \varepsilon_0\).

Продолжаем этот процесс выбора очередных номеров \(n_3\), \(n_4\), и так далее, где \(n_3 > n_2\), \(n_4 > n_3\), и т.д., так что \(|x_{n_k} - 0| < \varepsilon_0\) для любого номера \(n_k\).

Таким образом, для любой выбранной окрестности нуля \(\varepsilon_0\) у нас всегда есть бесконечное число членов последовательности \(x_n\), удовлетворяющих неравенству \(|x_n - 0| < \varepsilon_0\).

Это означает, что при \(n > N_0\) существует бесконечное число членов \(x_n\) в любой окрестности нуля.

Исходя из того, что для любой окрестности нуля есть бесконечное число членов последовательности \(x_n\), и из определения предела последовательности, можно сделать вывод, что предел последовательности равен нулю: \(0 = \lim_{{n \to \infty}} x_n\).

Таким образом, утверждение "сходимость последовательности \(x_n\) и наличие бесконечного числа членов \(x_n\) в любой окрестности нуля подразумевает, что \(0 = \lim_{{n \to \infty}} x_n\)" обосновано и верно.