Үшбұрыштың қабырғалары 5,5,8. Оларда сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустарын табыңдар болғыңыз

Школьникам, чтобы решить задачу, нам потребуется некоторое знание геометрии и формулы для поиска радиуса окружности. Для начала, давайте вспомним формулу радиуса выпуклого многоугольника, который можно найти, соединив медианы.

1) Найдем медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нашего треугольника, нам нужно найти медиану, исходящую из каждой вершины.

Итак, первая медиана:
Для этого отметим середину отрезка между вершинами 5 и 5. Середина будет совпадать с каждой из них, так как они одинаковые. Проведем от середины противоположную сторону, то есть по прямой через эту точку и вершину 8. Получим, что первая медиана будет проходить через точку 5 и точку 8 и делить сторону между ними пополам.

Повторяя это для двух других вершин треугольника, мы найдем вторую и третью медианы.
Теперь у нас есть 3 медианы, и мы готовы перейти к следующему шагу.

2) Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле:

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.

3) Давайте найдем длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Первая сторона:

\[\sqrt{(5 - 5)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3\]

Вторая сторона:

\[\sqrt{(5 - 8)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Третья сторона:

\[\sqrt{(5 - 5)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3\]

4) Теперь найдем полупериметр. Для этого просуммируем длины всех сторон и разделим полученное значение на 2.

\[p = \frac{3 + 3\sqrt{2} + 3}{2} = \frac{6 + 3\sqrt{2}}{2} = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\]

5) Подставим значения в формулу радиуса окружности:

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - 3)(3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2})(3\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2})}{3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}(3 - 3\sqrt{2})}{3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2}\sqrt{2}}{3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}(1 - \sqrt{2})}{3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{\frac{9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}}{3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{\frac{9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}}{\frac{6 + 3\sqrt{2}}{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{(9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}\sqrt{2}) \cdot 2}{6 + 3\sqrt{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{18\sqrt{2} - 36}{6 + 3\sqrt{2}}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{(18\sqrt{2} - 36)(6 + 3\sqrt{2})}}{\sqrt{(6 + 3\sqrt{2})^2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{108 + 72\sqrt{2} - 216\sqrt{2} - 108}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{-216\sqrt{2} - 108 + 108}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{-216\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{-216}\sqrt{\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{i\sqrt{216}\sqrt{\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \frac{6i\sqrt{\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

\[r = \frac{12i\sqrt{\sqrt{2}}}{6(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}\]

\[r = \frac{12i\sqrt{\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\]

Таким образом, радиусы вписанных окружностей для данного треугольника будут \(\frac{12i\sqrt{\sqrt{2}}}{6 + 3\sqrt{2}}\), где \(i\) - мнимая единица.