Сергей разделил изначальное натуральное чисто на 6, затем разделил его на 7, а после этого разделил на 8. При каждом

Сергей разделил изначальное натуральное чисто на 6, затем разделил его на 7, а после этого разделил на 8. При каждом делении остаток оказался ненулевым. Сумма этих трех остатков составляет 18. Какой остаток получится, когда Сергей разделит изначальное число на 28?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Филипп_669

Филипп_669

Пусть изначальное число, которое разделил Сергей, обозначим как 𝑛. Мы знаем, что остаток каждого деления на 6, 7 и 8 был ненулевым. Обозначим остатки соответственно как 𝑟₁, 𝑟₂ и 𝑟₃.

Когда 𝑛 делится на 6, остаток 𝑟₁ должен быть не равен нулю. То есть, мы можем записать это как:
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₁ \pmod{6} \]

Аналогично, когда 𝑛 делится на 7 и 8, мы можем записать:
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Мы также знаем, что сумма остатков составляет 18:
\[ 𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₃ = 18 \]

Теперь давайте попробуем решить эту систему уравнений.

Используя первое уравнение, мы можем записать 𝑛 как:
\[ 𝑛 = 6𝑘 + 𝑟₁ \]

Где 𝑘 - это некоторое целое число.

Подставив это в два других уравнения, мы получим:
\[ 6𝑘 + 𝑟₁ \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 𝑟₁ \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Мы хотим найти остаток, когда 𝑛 делится на 6, то есть 𝑟₁. Поэтому мы можем рассмотреть все возможные значения 𝑟₁ от 1 до 5 и проверить, когда выполняются остальные два уравнения.

Пусть 𝑟₁ = 1. Тогда у нас будет следующая система уравнений:
\[ 6𝑘 + 1 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 1 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Пройдя по всем целым значениям 𝑘, мы обнаружим, что нет целых чисел 𝑘, которые выполняют оба уравнения для 𝑟₁ = 1.

Теперь попробуем 𝑟₁ = 2:
\[ 6𝑘 + 2 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 2 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Пройдя по всем целым значениям 𝑘, мы обнаружим, что 𝑘 = 2 выполняет оба уравнения для 𝑟₁ = 2:
\[ 6 \cdot 2 + 2 \equiv 2 \pmod{7} \]
\[ 6 \cdot 2 + 2 \equiv 2 \pmod{8} \]

Подставив 𝑟₁ = 2 в первое уравнение, мы получим:
\[ 𝑛 = 6 \cdot 2 + 2 = 14 \]

Таким образом, остаток 𝑛 при делении изначального числа на 6 будет 2.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello