Сергей разделил изначальное натуральное чисто на 6, затем разделил его на 7, а после этого разделил на 8. При каждом

Пусть изначальное число, которое разделил Сергей, обозначим как 𝑛. Мы знаем, что остаток каждого деления на 6, 7 и 8 был ненулевым. Обозначим остатки соответственно как 𝑟₁, 𝑟₂ и 𝑟₃.

Когда 𝑛 делится на 6, остаток 𝑟₁ должен быть не равен нулю. То есть, мы можем записать это как:
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₁ \pmod{6} \]

Аналогично, когда 𝑛 делится на 7 и 8, мы можем записать:
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 𝑛 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Мы также знаем, что сумма остатков составляет 18:
\[ 𝑟₁ + 𝑟₂ + 𝑟₃ = 18 \]

Теперь давайте попробуем решить эту систему уравнений.

Используя первое уравнение, мы можем записать 𝑛 как:
\[ 𝑛 = 6𝑘 + 𝑟₁ \]

Где 𝑘 - это некоторое целое число.

Подставив это в два других уравнения, мы получим:
\[ 6𝑘 + 𝑟₁ \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 𝑟₁ \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Мы хотим найти остаток, когда 𝑛 делится на 6, то есть 𝑟₁. Поэтому мы можем рассмотреть все возможные значения 𝑟₁ от 1 до 5 и проверить, когда выполняются остальные два уравнения.

Пусть 𝑟₁ = 1. Тогда у нас будет следующая система уравнений:
\[ 6𝑘 + 1 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 1 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Пройдя по всем целым значениям 𝑘, мы обнаружим, что нет целых чисел 𝑘, которые выполняют оба уравнения для 𝑟₁ = 1.

Теперь попробуем 𝑟₁ = 2:
\[ 6𝑘 + 2 \equiv 𝑟₂ \pmod{7} \]
\[ 6𝑘 + 2 \equiv 𝑟₃ \pmod{8} \]

Пройдя по всем целым значениям 𝑘, мы обнаружим, что 𝑘 = 2 выполняет оба уравнения для 𝑟₁ = 2:
\[ 6 \cdot 2 + 2 \equiv 2 \pmod{7} \]
\[ 6 \cdot 2 + 2 \equiv 2 \pmod{8} \]

Подставив 𝑟₁ = 2 в первое уравнение, мы получим:
\[ 𝑛 = 6 \cdot 2 + 2 = 14 \]

Таким образом, остаток 𝑛 при делении изначального числа на 6 будет 2.