Семь специалистов оценивают фильм. Каждый из них ставит оценку - целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно

По условию задачи, у нас есть семь специалистов, каждый из которых ставит оценку фильму от 0 до 10 включительно. Мы знаем, что все специалисты ставят разные оценки.

По старой системе оценивания, рейтинг фильма вычисляется как среднее арифметическое всех оценок специалистов. Для нахождения этого значения, необходимо сложить все оценки и разделить их на количество специалистов (7). Пусть \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7\) - оценки специалистов, где \(a_1\) - меньшая оценка, а \(a_7\) - большая оценка.

\[ \text{Рейтинг по старой системе} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7}{7} \]

По новой системе оценивания, наименьшая и наибольшая оценки отбрасываются, а затем вычисляется среднее арифметическое оставшихся оценок. Таким образом, нам нужно найти наименьшую и наибольшую оценки, и затем найти среднее арифметическое оставшихся пяти оценок. Пусть \(b_2, b_3, b_4, b_5, b_6\) - оценки, которые мы будем использовать для подсчета рейтинга по новой системе.

\[ \text{Рейтинг по новой системе} = \frac{b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}{5} \]

Нам нужно найти наибольшее возможное значение разности между рейтингами по старой и новой системам оценивания. Для этого, нам нужно найти наибольшую возможную разность между \( \text{Рейтинг по старой системе} \) и \( \text{Рейтинг по новой системе} \).

Обозначим данное значение как \( \Delta \). Тогда:

\[ \Delta = \text{Рейтинг по старой системе} - \text{Рейтинг по новой системе} \]

Подставим значения рейтинга в формулу:

\[ \Delta = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7}{7} - \frac{b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6}{5} \]

Чтобы получить наибольшее значение разности, нужно минимизировать \( \text{Рейтинг по новой системе} \) и максимизировать \( \text{Рейтинг по старой системе} \). Это достигается тем, что наименьшая оценка ставится наименьшему значению \(a_1\) и наибольшая оценка ставится наибольшему значению \(a_7\). То есть

\[ a_1 = 0, \quad a_7 = 10 \]

Теперь, чтобы \( \text{Рейтинг по новой системе} \) был минимальным, берем оценки \(b_2 = 1, b_3 = 2, b_4 = 3, b_5 = 4, b_6 = 5\).

Подставим все значения в формулу для \( \Delta \):

\[ \Delta = \frac{0 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + 10}{7} - \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} \]

Далее, для максимального значения \( \Delta \), нужно максимизировать \( \text{Рейтинг по старой системе} \) поставив наибольшие возможные оценки в \(a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\). Это означает, что каждая из этих оценок должна быть максимальной, но при этом различной друг от друга, а также от \(a_1\) и \(a_7\).

Таким образом, можем выбрать следующие значения:

\[ a_2 = 8, \quad a_3 = 6, \quad a_4 = 4, \quad a_5 = 2, \quad a_6 = 9 \]

Подставляем значения в формулу для \( \Delta \):

\[ \Delta = \frac{0 + 8 + 6 + 4 + 2 + 9 + 10}{7} - \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} \]

Выполняем арифметические вычисления:

\[ \Delta = \frac{39}{7} - \frac{15}{5} = \frac{39}{7} - 3 = \frac{39}{7} - \frac{21}{7} = \frac{18}{7} \]

Таким образом, наибольшее возможное значение разности между рейтингами по двум системам оценивания равно \(\frac{18}{7}\).