Сделайте доказательство возрастающей функции y=sin2x на множестве в развернутой форме. Необходимо выполнить два шага

Хорошо, давайте начнем сначала и пошагово докажем, что функция \(y = \sin^2x\) возрастает на заданном множестве.

Шаг 1: Начнем с определения возрастающей функции. Функция \(f(x)\) считается возрастающей на интервале \([a, b]\), если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала, таких что \(x_1 < x_2\), выполняется \(f(x_1) < f(x_2)\).

Шаг 2: Теперь перейдем к доказательству. Рассмотрим две произвольные точки \(x_1\) и \(x_2\) из заданного множества, где \(x_1 < x_2\). Нам нужно показать, что \(f(x_1) < f(x_2)\), где \(f(x) = \sin^2x\).

Для удобства обозначим \(y_1 = f(x_1) = \sin^2x_1\) и \(y_2 = f(x_2) = \sin^2x_2\).

Раскроем косинусы и преобразуем выражения:

\[y_1 = \sin^2x_1 = \left(\frac{e^{ix_1} - e^{-ix_1}}{2i}\right)^2 = \left(\frac{e^{2ix_1} - 2 + e^{-2ix_1}}{-4}\right)\]
\[y_2 = \sin^2x_2 = \left(\frac{e^{ix_2} - e^{-ix_2}}{2i}\right)^2 = \left(\frac{e^{2ix_2} - 2 + e^{-2ix_2}}{-4}\right)\]

Теперь сравним \(y_1\) и \(y_2\) по отдельности. Для этого вычтем \(y_2\) из \(y_1\):

\[y_1 - y_2 = \left(\frac{e^{2ix_1} - 2 + e^{-2ix_1}}{-4}\right) - \left(\frac{e^{2ix_2} - 2 + e^{-2ix_2}}{-4}\right)\]

Упростим эту разность:

\[y_1 - y_2 = \frac{e^{2ix_1} - 2 + e^{-2ix_1} - e^{2ix_2} + 2 - e^{-2ix_2}}{-4}\]
\[y_1 - y_2 = \frac{e^{2ix_1} - e^{2ix_2} + e^{-2ix_1} - e^{-2ix_2}}{-4}\]

Теперь заметим, что \(e^{ix}\) и \(e^{-ix}\) - это комплексно-сопряженные числа, поэтому:

\[e^{2ix_1} - e^{2ix_2} = |e^{2ix_1}|^2 - |e^{2ix_2}|^2 = 1 - 1 = 0\]
\[e^{-2ix_1} - e^{-2ix_2} = |e^{-2ix_1}|^2 - |e^{-2ix_2}|^2 = 1 - 1 = 0\]

Возвращаясь к нашему равенству:

\[y_1 - y_2 = \frac{0 + 0}{-4} = 0\]

Таким образом, мы получили, что \(y_1 - y_2 = 0\), что эквивалентно \(f(x_1) - f(x_2) = 0\).

Если разность двух чисел равна нулю, то эти числа равны между собой. Поэтому можем заключить, что \(f(x_1) = f(x_2)\).

Итак, если \(x_1 < x_2\), то мы доказали, что \(f(x_1) = f(x_2)\). Это означает, что функция \(f(x) = \sin^2x\) монотонно возрастает на заданном множестве.

Надеюсь, это доказательство понятно и информативно для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!