Що дорівнює bn, другий член геометричної прогресії (bn), якщо b5=25 та b6=125?

Для решения данной задачи нам нужно определить значение второго члена геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет вид: \(a, ar, ar^2, ar^3, ...\), где \(a\) - первый член прогрессии, а \(r\) - знаменатель (отношение между соседними членами прогрессии).

Мы знаем, что \(b_5 = 25\) и \(b_6 = 125\), но не знаем точные значения первого члена и знаменателя. Давайте найдем их.

Для этого мы можем использовать отношение между \(b_6\) и \(b_5\). Воспользуемся формулой для общего члена геометрической прогрессии: \(b_n = a \cdot r^{n-1}\), где \(n\) - номер члена прогрессии.

Подставим значения для \(b_6\) и \(b_5\):

\[b_6 = a \cdot r^5 = 125\]
\[b_5 = a \cdot r^4 = 25\]

Теперь разделим эти два уравнения друг на друга, чтобы избавиться от неизвестной \(a\):

\[\frac{{b_6}}{{b_5}} = \frac{{a \cdot r^5}}{{a \cdot r^4}} = 5\]

Мы видим, что \(a\) сокращается, и у нас остается следующее:

\[\frac{{r^5}}{{r^4}} = 5\]

Теперь упростим это уравнение, возведя \(r\) в степень:

\[r = 5\]

Теперь, когда мы нашли \(r\), мы можем найти значение первого члена \(a\). Для этого подставим значения \(b_5\) и \(r\) в уравнение:

\[b_5 = a \cdot r^4 = a \cdot 5^4 = 25\]

Решим это уравнение:

\[a \cdot 625 = 25\]

Разделим обе части на 625:

\[a = \frac{{25}}{{625}} = \frac{{1}}{{25}}\]

Итак, мы нашли значения \(a\) и \(r\): \(a = \frac{{1}}{{25}}\) и \(r = 5\). Теперь мы можем найти второй член геометрической прогрессии \(b_n\), где \(n\) - номер члена. В нашем случае \(n = 2\), поэтому:

\[b_2 = a \cdot r^{2-1} = a \cdot r = \frac{{1}}{{25}} \cdot 5 = \frac{{5}}{{25}} = \frac{{1}}{{5}}\]

Итак, второй член геометрической прогрессии \(b_n\) равен \(\frac{{1}}{{5}}\).