С точки m отведены наклонные ma и mb до плоскости β. Углы, которые они образуют с этой плоскостью, составляют 60°

Пожалуйста, давайте решим данную задачу.

Обозначим длину отрезка ma как a. Требуется найти проекцию наклонной mb на плоскости β при условии, что длина ma равна a.

Для начала, построим схему данной задачи, чтобы лучше понять ситуацию:

            β

         /      |

        /       |

       /        |

      /         |

     /          |

    /           |             // mb

   /            |

  /      a      |

 / / / / / / /

m

Где m - точка, от которой отведены наклонные ma и mb, β - плоскость, а a и b - точки на наклонных.

Мы знаем, что угол, образованный наклонной mb с плоскостью β, составляет 45°. Также, угол, образованный наклонной ma с плоскостью β, составляет 60°.

Теперь возьмем треугольник с вершинами в точках m, a и проекции точки b на плоскость β, которую мы обозначим как b′.

Согласно геометрическим свойствам, в прямоугольном треугольнике ma"bm (где a" обозначает проекцию точки a на плоскость β), угол между наклонной ma и медианой, проведенной к противолежащему катету, составляет 30°. Также, угол между наклонной mb и медианой, проведенной к противолежащему катету, составляет 45°.

Теперь применим тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника ma"bm.

Используя соотношение $\tan (\theta )=\frac{\text{{противолежащий катет}}}{\text{{прилежащий катет}}}$, мы можем выразить отношение длин сторон треугольника ma"bm:

$\tan ({30}^{\circ })=\frac{a"}{b"}$ — (1)

$\tan ({45}^{\circ })=\frac{a"}{a}$ — (2)

Теперь, используя (2), выразим $a"$ через $a$:

$a"=a\cdot \tan ({45}^{\circ })$ — (3)

Теперь, подставив (3) в (1), мы можем выразить отношение длин a" и b":

$\tan ({30}^{\circ })=\frac{a\cdot \tan ({45}^{\circ })}{b"}$

Отсюда отделим b":

$b"=\frac{a\cdot \tan ({45}^{\circ })}{\tan ({30}^{\circ })}$ — (4)

Теперь, используя (4), мы можем найти проекцию наклонной mb на плоскость β при условии, что длина ma равна a.

Подставим значения углов:

$b"=\frac{a\cdot \tan ({45}^{\circ })}{\tan ({30}^{\circ })}$

Вычислим значения тангенсов:

$b"=\frac{a\cdot 1}{\sqrt{3}/3}$

Упростим:

$b"=\frac{3a}{\sqrt{3}}$

Таким образом, проекция наклонной mb на плоскость β, при условии что длина ma равна a, равна $\frac{3a}{\sqrt{3}}$.

Надеюсь, это позволяет понять решение данной задачи.