С тела, двигаясь постоянной скоростью, расстояние s, совершает три последовательных поворота на угол 90º относительно

Чтобы ответить на поставленную задачу, нам понадобится представить себе движение тела и провести несколько вычислений. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Представим себе начальное положение тела и его перемещение после каждого поворота. Пусть начальное положение тела будет точка O, а после каждого поворота он перемещается в точки A, B и C.

Шаг 2: Так как тело движется постоянной скоростью, можно предположить, что его перемещение из точки O до точки A, из точки A до точки B и из точки B до точки C происходит с одинаковыми расстояниями и временем. Обозначим это расстояние и время как d и t.

Шаг 3: Мы знаем, что при каждом повороте на угол 90º относительно предыдущего направления, тело изменяет свое направление на 90º. Это значит, что вектор перемещения тела также изменяется на 90º после каждого поворота.

Шаг 4: Представим себе векторы перемещения тела после каждого поворота. Поскольку угол между каждым вектором и предыдущим составляет 90º, эти векторы будут иметь форму квадрата. Обозначим их как векторы a, b и c.

Шаг 5: Так как перемещение тела при постоянной скорости равно произведению скорости на время, перемещение тела из точки O до точки A можно записать как векторное уравнение: \(\Delta\vec{r_A} = \vec{v} \cdot t \cdot \hat{a}\), где \(\Delta\vec{r_A}\) - вектор перемещения от O до A, \(\vec{v}\) - скорость тела, t - время и \(\hat{a}\) - единичный вектор в направлении a.

Шаг 6: Аналогично, перемещение тела из точки A до точки B и из точки B до точки C можно записать как векторные уравнения: \(\Delta\vec{r_B} = \vec{v} \cdot t \cdot \hat{b}\) и \(\Delta\vec{r_C} = \vec{v} \cdot t \cdot \hat{c}\), где \(\Delta\vec{r_B}\) и \(\Delta\vec{r_C}\) - векторы перемещения от A до B и от B до C соответственно, \(\hat{b}\) и \(\hat{c}\) - единичные векторы в направлениях b и c.

Шаг 7: Теперь мы можем найти суммарное перемещение тела, добавив векторы перемещения после каждого поворота. Обозначим его как \(\Delta\vec{r_{\text{сумма}}}\):

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \Delta\vec{r_A} + \Delta\vec{r_B} + \Delta\vec{r_C}
\]

Подставляя значения векторов перемещения из шагов 5 и 6, получим:

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \vec{v} \cdot t \cdot \hat{a} + \vec{v} \cdot t \cdot \hat{b} + \vec{v} \cdot t \cdot \hat{c}
\]

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \vec{v} \cdot t \cdot (\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})
\]

Шаг 8: Теперь необходимо найти единичные векторы \(\hat{a}\), \(\hat{b}\) и \(\hat{c}\). После каждого поворота на 90º относительно предыдущего направления, вектор перемещения поворачивается на 90º. Здесь нам поможет понятие ортогональности. Если векторы a, b и c составляют стороны квадрата, то они должны быть ортогональными друг другу и иметь одинаковую длину (так как тело движется с одинаковой скоростью).

Шаг 9: Итак, можно выбрать любую длину для векторов a, b и c в соответствии с условием задачи. Пусть длина каждого вектора равна d.

Шаг 10: Чтобы векторы a, b и c были ортогональными, можно воспользоваться свойствами ортогональности. Например, если вектор a направлен вдоль оси x, то векторы b и c могут быть направлены соответственно вдоль оси y и по диагонали квадрата. Проще говоря, мы можем выбрать направления векторов таким образом, чтобы они образовывали перпендикулярные стороны квадрата.

Шаг 11: Итак, мы можем записать векторы a, b и c следующим образом:

\(\hat{a} = (d, 0)\) (вдоль оси x),
\(\hat{b} = (0, d)\) (вдоль оси y),
\(\hat{c} = (d, d)\) (по диагонали квадрата).

Шаг 12: Подставляя значения \(\hat{a}\), \(\hat{b}\) и \(\hat{c}\) в итоговое уравнение из шага 7, получим:

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \vec{v} \cdot t \cdot (d, 0) + \vec{v} \cdot t \cdot (0, d) + \vec{v} \cdot t \cdot (d, d)
\]

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \vec{v} \cdot t \cdot (d + 0 + d, 0 + d + d)
\]

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = \vec{v} \cdot t \cdot (2d, 2d)
\]

Шаг 13: На данном этапе мы нашли вектор перемещения тела после трех последовательных поворотов на 90º. Выражение \(\vec{v} \cdot t\) представляет произведение скорости на время и равно расстоянию \(s\), которое тело преодолевает за это время. Поэтому можем записать:

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = (2d, 2d) \cdot s
\]

\[
\Delta\vec{r_{\text{сумма}}} = (2s, 2s)
\]

Шаг 14: Суммарное перемещение тела \(\Delta\vec{r_{\text{сумма}}}\) равно \((2s, 2s)\). Это означает, что тело перемещается на расстояние \(2s\) в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Шаг 15: Что касается результатов этих перемещений, можно отметить следующее. После трех последовательных поворотов на 90º тело оказывается в конечной точке C, которая находится над точкой O на расстоянии \(2s\) и смещена вправо на расстояние \(2s\). Таким образом, конечная позиция тела будет примерно такой:

\[
\text{Конечная позиция} = (2s, 2s)
\]

В результате этих поворотов получается своеобразная "замкнутая фигура" или "квадрат" вдвое большего размера, чем исходный квадрат, с углами, совпадающими с углами исходного квадрата.

Надеюсь, этот подробный ответ и пошаговое решение помогли вам понять задачу. Если есть еще вопросы или что-то неясно, с удовольствием помогу!