с-23. Неравенства с двумя неизвестными. 1. Является ли пара чисел (3; -4) решением следующего неравенства? а) 5x

Решение:

1. а) Чтобы определить, является ли пара чисел (3; -4) решением неравенства $5x-y-18<0$, подставим эти значения вместо переменных:
$5(3)-(-4)-18<0$
$15+4-18<0$
$1<0$

Так как полученное выражение $1<0$ является ложным, то пара чисел (3; -4) не является решением данного неравенства.

б) Для определения, является ли пара чисел (3; -4) решением неравенства $(x–1)²+(y+32)<9$, подставим значения вместо переменных:

$(3–1)²+(-4+32)<9$
$2²+28<9$
$4+28<9$
$32<9$

Полученное выражение $32<9$ также является ложным, поэтому пара чисел (3; -4) не является решением данного неравенства.

2. а) Для нахождения двух любых решений неравенства $y<6-2x$, можем выбрать две разные пары чисел и проверить, выполняется ли неравенство для них. Давайте выберем пары чисел (0; 0) и (1; 2):

Для (0; 0):

$0<6-2(0)$
$0<6$

Для (1; 2):

$2<6-2(1)$
$2<4$

Таким образом, пары чисел (0; 0) и (1; 2) являются решениями данного неравенства.

б) Давайте также найдем два решения для неравенства $y>25-x$. Попробуем пары чисел (0; 30) и (-10; 35):

Для (0; 30):

$30>25-0$
$30>25$

Для (-10; 35):

$35>25-(-10)$
$35>25+10$
$35>35$

Мы видим, что первая пара (0; 30) удовлетворяет условию неравенства, в то время как вторая пара (-10; 35) не удовлетворяет.

3. а) Чтобы изобразить множество точек, определяемое неравенством $y\le 2-2x+1$, нужно построить график прямой $y=2-2x+1$.

Начнем с уравнения $y=-2x+3$. Для построения графика нам понадобятся только две точки.

Подставим $x=0$:
$y=-2(0)+3=3$
Точка (0, 3)

Подставим $x=1$:
$y=-2(1)+3=1$
Точка (1, 1)

Проведем прямую через эти две точки:

$$\overline{)\begin{array}{cc}x& y\\ -1& 5\\ 0& 3\\ 1& 1\\ 2& -1\end{array}}$$

Полученная прямая $y=-2x+3$ будет состоять из всех точек, удовлетворяющих условию $y\le 2-2x+1$. Для неравенства $y\le 2-2x+1$ мы включаем точки, лежащие на прямой и под ней.

б) Чтобы изобразить множество точек, определяемое неравенством $x²+(y–3)\ge 4$, нужно построить график уравнения $x²+(y–3)=4$. Это уравнение задает параболу.

Перенесем 4 на другую сторону:
$x²+(y–3)-4=0$

Теперь мы можем построить график этой параболы, используя координатную плоскость:

$$\overline{)\begin{array}{cc}x& y\\ -3& 3\\ -2& 3\\ -1& 2\\ 0& 1\\ 1& 2\\ 2& 5\end{array}}$$

Полученная парабола будет представлять собой множество точек, удовлетворяющих неравенству $x²+(y–3)\ge 4$. Мы включаем точки на параболе и выше нее.

4. а) Чтобы определить множество точек, определяемое неравенством $x²–2x+y>8$, нужно построить график уравнения $x²–2x+y=8$.

Перенесем 8 на другую сторону:
$x²–2x+y–8=0$

Далее, построим график этого уравнения, используя координатную плоскость:

$$\overline{)\begin{array}{cc}x& y\\ -3& -1\\ -2& 2\\ -1& 5\\ 0& 8\\ 1& 11\\ 2& 14\end{array}}$$

Полученная кривая будет представлять собой множество точек, удовлетворяющих неравенству $x²–2x+y>8$. Мы включаем точки на кривой и выше нее.

б) Чтобы определить множество точек, определяемое неравенством $x²+y²+6x–8y-11<0$, нужно построить график уравнения $x²+y²+6x–8y-11=0$.

Теперь мы имеем квадратичное уравнение, которое задает окружность. Давайте завершим квадрат и перепишем уравнение:

$(x+3)²+(y–4)²=36$

Теперь давайте построим эту окружность:

$$\overline{)\begin{array}{cc}x& y\\ -6& 3\\ -4& 1\\ -2& 3\\ 1& 6\\ 3& 4\end{array}}$$

Полученная окружность будет представлять собой множество точек, для которых неравенство $x²+y²+6x–8y-11<0$ выполняется. Мы включаем точки внутри окружности.

5. Неравенством с двумя неизвестными можно задать множество точек на координатной плоскости. Например, зададим неравенство $x+y<5$. Это означает, что все точки на плоскости, для которых сумма координат x и y меньше 5, будут удовлетворять этому неравенству.