с-23. Неравенства с двумя неизвестными. 1. Является ли пара чисел (3; -4) решением следующего неравенства? а) 5x

Решение:

1. а) Чтобы определить, является ли пара чисел (3; -4) решением неравенства \(5x - y - 18 < 0\), подставим эти значения вместо переменных:
\(5(3) - (-4) - 18 < 0\)
\(15 + 4 - 18 < 0\)
\(1 < 0\)

Так как полученное выражение \(1 < 0\) является ложным, то пара чисел (3; -4) не является решением данного неравенства.

б) Для определения, является ли пара чисел (3; -4) решением неравенства \((x – 1)² + (y + 32) < 9\), подставим значения вместо переменных:

\((3–1)² + (-4+32) < 9\)
\(2² + 28 < 9\)
\(4 + 28 < 9\)
\(32 < 9\)

Полученное выражение \(32 < 9\) также является ложным, поэтому пара чисел (3; -4) не является решением данного неравенства.

2. а) Для нахождения двух любых решений неравенства \(y < 6 - 2x\), можем выбрать две разные пары чисел и проверить, выполняется ли неравенство для них. Давайте выберем пары чисел (0; 0) и (1; 2):

Для (0; 0):

\(0 < 6 - 2(0)\)
\(0 < 6\)

Для (1; 2):

\(2 < 6 - 2(1)\)
\(2 < 4\)

Таким образом, пары чисел (0; 0) и (1; 2) являются решениями данного неравенства.

б) Давайте также найдем два решения для неравенства \(y > 25 - x\). Попробуем пары чисел (0; 30) и (-10; 35):

Для (0; 30):

\(30 > 25 - 0\)
\(30 > 25\)

Для (-10; 35):

\(35 > 25 - (-10)\)
\(35 > 25 + 10\)
\(35 > 35\)

Мы видим, что первая пара (0; 30) удовлетворяет условию неравенства, в то время как вторая пара (-10; 35) не удовлетворяет.

3. а) Чтобы изобразить множество точек, определяемое неравенством \(y ≤ 2 - 2x + 1\), нужно построить график прямой \(y = 2 - 2x + 1\).

Начнем с уравнения \(y = -2x + 3\). Для построения графика нам понадобятся только две точки.

Подставим \(x = 0\):
\(y = -2(0) + 3 = 3\)
Точка (0, 3)

Подставим \(x = 1\):
\(y = -2(1) + 3 = 1\)
Точка (1, 1)

Проведем прямую через эти две точки:

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
x & y \\
\hline
-1 & 5 \\
0 & 3 \\
1 & 1 \\
2 & -1 \\
\hline
\end{array}
\]

Полученная прямая \(y = -2x + 3\) будет состоять из всех точек, удовлетворяющих условию \(y ≤ 2 - 2x + 1\). Для неравенства \(y ≤ 2 - 2x + 1\) мы включаем точки, лежащие на прямой и под ней.

б) Чтобы изобразить множество точек, определяемое неравенством \(x² + (y – 3) ≥ 4\), нужно построить график уравнения \(x² + (y – 3) = 4\). Это уравнение задает параболу.

Перенесем 4 на другую сторону:
\(x² + (y – 3) - 4 = 0\)

Теперь мы можем построить график этой параболы, используя координатную плоскость:

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 3 \\
-2 & 3 \\
-1 & 2 \\
0 & 1 \\
1 & 2 \\
2 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]

Полученная парабола будет представлять собой множество точек, удовлетворяющих неравенству \(x² + (y – 3) ≥ 4\). Мы включаем точки на параболе и выше нее.

4. а) Чтобы определить множество точек, определяемое неравенством \(x² – 2x + y > 8\), нужно построить график уравнения \(x² – 2x + y = 8\).

Перенесем 8 на другую сторону:
\(x² – 2x + y – 8 = 0\)

Далее, построим график этого уравнения, используя координатную плоскость:

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -1 \\
-2 & 2 \\
-1 & 5 \\
0 & 8 \\
1 & 11 \\
2 & 14 \\
\hline
\end{array}
\]

Полученная кривая будет представлять собой множество точек, удовлетворяющих неравенству \(x² – 2x + y > 8\). Мы включаем точки на кривой и выше нее.

б) Чтобы определить множество точек, определяемое неравенством \(x² + y² + 6x – 8y - 11 < 0\), нужно построить график уравнения \(x² + y² + 6x – 8y - 11 = 0\).

Теперь мы имеем квадратичное уравнение, которое задает окружность. Давайте завершим квадрат и перепишем уравнение:

\((x + 3)² + (y – 4)² = 36\)

Теперь давайте построим эту окружность:

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
x & y \\
\hline
-6 & 3 \\
-4 & 1 \\
-2 & 3 \\
1 & 6 \\
3 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]

Полученная окружность будет представлять собой множество точек, для которых неравенство \(x² + y² + 6x – 8y - 11 < 0\) выполняется. Мы включаем точки внутри окружности.

5. Неравенством с двумя неизвестными можно задать множество точек на координатной плоскости. Например, зададим неравенство \(x + y < 5\). Это означает, что все точки на плоскости, для которых сумма координат x и y меньше 5, будут удовлетворять этому неравенству.