Решите уравнение log base 1/2 (3cos2x - 2cos^2x+5) = -2. Я решил это поздно

Конечно, я помогу вам решить это уравнение. Давайте начнем.

Первым шагом будет применение определения логарифма. Определение логарифма гласит, что \(\log_{b}(a) = c\) эквивалентно тому, что \(b^c = a\).

В вашем уравнении у вас основание логарифма равно \(\frac{1}{2}\). Поэтому мы можем применить это определение и получить:

\[(3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\]

Далее, применим правило степени \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4\). Получим:

\[3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5 = 4\]

Теперь объединим все члены справа в один:

\[3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5 - 4 = 0\]

Упростим:

\[3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 1 = 0\]

Далее, заметим, что у нас есть квадратный член \(-2\cos^2(x)\), поэтому попробуем свести это квадратное уравнение к более простому виду. Заметим также, что \(\cos(2x)\) может быть выражено через \(\cos^2(x)\) следующим образом:

\[\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\]

Подставим это в наше уравнение:

\[3(2\cos^2(x) - 1) - 2\cos^2(x) + 1 = 0\]

Раскроем скобки:

\[6\cos^2(x) - 3 - 2\cos^2(x) + 1 = 0\]

Сгруппируем члены с \(\cos^2(x)\) вместе и числовые члены вместе:

\[6\cos^2(x) - 2\cos^2(x) -3 +1 = 0\]

\[4\cos^2(x) - 2 = 0\]

Поделим на 2 для упрощения:

\[2\cos^2(x) - 1 = 0\]

Заметим, что это уже приводится к виду разности квадратов:

\[(\sqrt{2}\cos(x) - 1)(\sqrt{2}\cos(x) + 1) = 0\]

Теперь нам нужно найти значения \(\cos(x)\), которые удовлетворяют уравнению \(\sqrt{2}\cos(x) - 1 = 0\) или \(\sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0\).

Решим первое уравнение:

\[\sqrt{2}\cos(x) - 1 = 0\]

\[\sqrt{2}\cos(x) = 1\]

\[\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Так как угол \(\frac{\pi}{4}\) соответствует \(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), то одно из решений будет \(x = \frac{\pi}{4}\).

Теперь решим второе уравнение:

\[\sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0\]

\[\sqrt{2}\cos(x) = -1\]

\[\cos(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Так как угол \(\frac{3\pi}{4}\) соответствует \(\cos(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), то второе решение будет \(x = \frac{3\pi}{4}\).

Итак, решение уравнения \(\log_{\frac{1}{2}}(3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5) = -2\) состоит из двух значений \(x = \frac{\pi}{4}\) и \(x = \frac{3\pi}{4}\).