Решите уравнение √2 sin^2x+cosx-√2)*√-6sinx=0 в интервале [2п; 7п/2]. Заранее благодарю!

Хорошо, давайте решим данное уравнение с пошаговым обоснованием.

1. Начнем с исходного уравнения: \(\sqrt{2}\sin^2(x) + \cos(x) - \sqrt{2}\sqrt{-6}\sin(x) = 0\).

2. Для удобства заменим \(\sqrt{-6}\) на \(\sqrt{6}i\), где \(i\) - мнимая единица: \(\sqrt{2}\sin^2(x) + \cos(x) - \sqrt{2}\sqrt{6}i\sin(x) = 0\).

3. Раскроем квадрат синуса: \(\sqrt{2}\left(1 - \cos^2(x)\right) + \cos(x) - \sqrt{2}\sqrt{6}i\sin(x) = 0\).

4. Упростим выражение, учитывая, что \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\): \(\sqrt{2} - \sqrt{2}\cos^2(x) + \cos(x) - \sqrt{2}\sqrt{6}i\sin(x) = 0\).

5. Обозначим \(\cos(x) = t\), тогда получим: \(\sqrt{2} - \sqrt{2}t^2 + t - \sqrt{2}\sqrt{6}it = 0\).

6. Приведем подобные слагаемые: \(-\sqrt{2}t^2 + t - \sqrt{2}\sqrt{6}it + \sqrt{2} = 0\).

7. Запишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(t\): \(-\sqrt{2}t^2 + t - \sqrt{2}\sqrt{6}it + \sqrt{2} = 0\).

8. Разделим всё уравнение на \(-\sqrt{2}\), чтобы коэффициент при \(t^2\) был равен 1: \(t^2 - \frac{1}{\sqrt{2}}t + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}it - 1 = 0\).

9. Умножим оба члена уравнения на комплексно сопряженное число \(-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}i\) для избавления от мнимой единицы: \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}it^2 + \left(-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\right)t + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}i - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}i = 0\).

10. Обозначим \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}i\) как \(a\), тогда получим: \(at^2 - at + a - a = 0\).

11. Заметим, что выражение \(a - a\) равно нулю, следовательно: \(at^2 - at = 0\).

12. Вынесем общий множитель \(t\) из первых двух членов: \(t(at - 1) = 0\).

13. Учтем два возможных случая: \(t = 0\) или \((at - 1) = 0\).

14. Для первого случая, \(t = 0\), найдем соответствующее значение \(x\): \(\cos(x) = 0\). В интервале \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\) корни данного уравнения находятся при \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\).

15. Для второго случая, \(at - 1 = 0\), найдем значение \(x\): \(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\). В интервале \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\) корни данного уравнения находятся при \(x = \frac{7\pi}{4}\).

Таким образом, решение уравнения \(\sqrt{2}\sin^2(x) + \cos(x) - \sqrt{2}\sqrt{-6}\sin(x) = 0\) в интервале \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\) состоит из следующих значений \(x\):
\(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\).

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!