Решите неравенство (20-17x)*log3x+7(x^2-2x+2

Для начала решим неравенство. Неравенство с логарифмом обычно решается в два этапа: сначала найдем область допустимых значений переменной, а затем проверим условия на неравенства в этой области.

1) Найдем область допустимых значений переменной x:
В данном случае, логарифм должен быть определен, поэтому условие \(\log_3x\) существования логарифма гласит: \(x > 0\).
Кроме того, в уравнении есть дробь \(\frac{{20-17x}}{{\log_3x}}\). Для того, чтобы дробь была определена, знаменатель не должен быть равен нулю: \(\log_3x \neq 0\).
Так как \(\log_3x\) представляет собой логарифм по основанию 3, а логарифм от нуля не существует, то условие \(\log_3x \neq 0\) эквивалентно условию \(x \neq 1\).
Итак, получаем область допустимых значений для переменной x: \(x > 0\) и \(x \neq 1\).

2) Проверим неравенства в этой области допустимых значений.

а) Рассмотрим неравенство \(20-17x > 0\).
Решим его:
\(20 > 17x\),
\(x < \frac{{20}}{{17}}\).

б) Рассмотрим неравенство \(x^2-2x+2 > 0\).
Для решения этого неравенства воспользуемся методом дискриминантов.
Найдем дискриминант уравнения:
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\).
Так как дискриминант отрицательный, то у уравнения нет действительных корней, следовательно, квадратное уравнение \(x^2-2x+2 = 0\) не имеет точек пересечения с осью Ox.
Поскольку у функции \(y = x^2-2x+2\) нет пересечений с осью Ox, она либо положительна на всей области, либо отрицательна на всей области. Чтобы понять, где она положительна, а где отрицательна, найдем вершину параболы:
\(x_v = -\frac{{-2}}{{2\cdot1}} = 1\), \(y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1\).
Таким образом, парабола с вершиной (1, 1) направлена вверх и положительна на всей оси Ox.
Следовательно, неравенство \(x^2-2x+2 > 0\) выполняется для всех значений x.

Таким образом, мы получили следующие условия:
- Неравенство \(20-17x > 0\) выполняется для \(x < \frac{{20}}{{17}}\).
- Неравенство \(x^2-2x+2 > 0\) выполняется для любых значений x.

Теперь объединим эти условия:
\((20-17x) \cdot \log_3x + 7(x^2-2x+2) > 0\) выполняется для \(x < \frac{{20}}{{17}}\).

Таким образом, область решений заданного неравенства состоит из всех значений x, удовлетворяющих обоим условиям:
\(x > 0\), \(x \neq 1\) и \(x < \frac{{20}}{{17}}\).