Решите неравенства следующим образом: а) При каких значениях x выражение 2x^2-9x+7 будет больше нуля? б) При каких

Давайте решим данную задачу поэтапно:

а) Чтобы найти значения x, при которых выражение \(2x^2 - 9x + 7\) будет больше нуля, мы будем искать интервалы, на которых это выражение положительно.

1. Запишем данное выражение: \(2x^2 - 9x + 7 > 0\).
2. Найдем корни данного квадратного трехчлена: \(2x^2 - 9x + 7 = 0\). Решим это уравнение с помощью квадратного корня или формулы:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где \(a = 2\), \(b = -9\) и \(c = 7\).

Найдем значение дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac\):

\[\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25\]

Так как \(\Delta > 0\), у нас есть два корня.

\[x_1 = \frac{{-(-9) + \sqrt{{25}}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{9 + 5}}{{4}} = \frac{{14}}{{4}} = \frac{{7}}{{2}}\]
\[x_2 = \frac{{-(-9) - \sqrt{{25}}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{9 - 5}}{{4}} = \frac{{4}}{{4}} = 1\]

3. Теперь найдем интервалы, на которых выражение \(2x^2 - 9x + 7\) положительно. Для этого построим знаковую таблицу, используя найденные корни:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& x < 1 & 1 < x < \frac{{7}}{{2}} & x > \frac{{7}}{{2}} \\
2x^2 - 9x + 7 & + & - & + \\
\end{{array}}
\]

Таким образом, выражение \(2x^2 - 9x + 7\) будет положительным при \(x < 1\) и при \(x > \frac{{7}}{{2}}\).

б) Чтобы найти значения x, при которых выражение \(2x^2 - 9x + 7\) будет меньше нуля, мы будем искать интервалы, на которых это выражение отрицательно.

1. Запишем данное выражение: \(2x^2 - 9x + 7 < 0\).
2. Воспользуемся полученными ранее корнями \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{{7}}{{2}}\), чтобы построить знаковую таблицу:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& x < 1 & 1 < x < \frac{{7}}{{2}} & x > \frac{{7}}{{2}} \\
2x^2 - 9x + 7 & - & + & - \\
\end{{array}}
\]

Тогда выражение \(2x^2 - 9x + 7\) будет отрицательным при \(1 < x < \frac{{7}}{{2}}\).

3. Определяя направление открывания ветвей параболы, рассмотрим коэффициент \(a\) перед \(x^2\). В данном случае \(a = 2\) (положительный), что означает, что график параболы "открывается" вверх.

4. Чтобы найти значения \(x\), при которых график пересекает ось \(x\), приравняем данное выражение к нулю и решим уравнение:

\[2x^2 - 9x + 7 = 0\]

Мы уже нашли корни данного уравнения ранее: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{{7}}{{2}}\).

5. Наконец, нарисуем график параболы \(y = 2x^2 - 9x + 7\) с помощью найденной информации.